参数方程的类型之辨析

前言

当我们学习了直线的参数方程和圆的参数方程后，自然会碰到如何辨析两类参数方程的类型的问题，由于其外形非常相似，仅仅是参数不一样，故需要我们仔细体会。

典例剖析

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{38}}\) \(A\)组第 \(1\) 题】已知参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a\cos\phi .\\y=y_0+a\sin\phi .\end{array}\right.\)

(1). 指出当哪个量作为参数时，方程表示直线？哪个量作为参数时，方程表示圆？

(2). 分别说出 \(x_0\) ， \(y_0\) ， \(a\) ， \(\phi\) ， \(x\) ， \(y\)的几何意义 .

解析： 当 \(a\) 作为参数时，方程表示直线，其中 \((x_0,y_0)\) 表示直线所经过的定点[标记为 \(P_0\)]，\((x,y)\) 表示直线上的动点[标记为 \(P\)]， \(\phi\) 表示直线的倾斜角，参数 \(a\) 的几何意义是有向线段 \(\overrightarrow{P_0P}\) 的数量，故其可正，可负，可零；

当 \(\phi\) 作为参数时，方程表示圆，其中 \((x_0,y_0)\) 表示圆心，\((x,y)\) 表示圆上的动点， \(a\) 表示圆的半径，参数 \(\phi\) 的几何意义是动点与原点连线和\(x\)轴正半轴所形成的旋转角；

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{42}}\) 练习第 \(2\) 题】已知参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=at+\lambda\cos\theta .\\y=bt+\lambda\sin\theta .\end{array}\right.\) (\(a\)，\(b\)，\(\lambda\)均不为零，\(0\)\(\leqslant\)\(\theta\)\(\leqslant\)\(2\pi\))，分别取：

(1). \(t\) 为参数；(2). \(\lambda\) 为参数；(3). \(\theta\) 为参数；则下列结论中成立的是【\(\quad\)\(C\)\(\quad\)】

$A.$(1).(2).(3).均为直线；

$B.$只有(2).是直线；

$C.$(1).(2).是直线，(3).是圆；

$D.$(2).是直线，(1).(3).是圆锥曲线；

分析：当 \(t\) 为参数时，消去参数得到， \(y-\lambda\sin\theta=\cfrac{b}{a}(x-\lambda\cos\theta)\)，刻画的是经过点 \((\lambda\cos\theta,\lambda\sin\theta)\)，斜率为 \(\cfrac{b}{a}\) 的直线；

当 \(\lambda\) 为参数时，消去参数得到， \(y-bt=\tan\theta(x-at)\)，刻画的是经过点 \((at,bt)\)，斜率为 \(\tan\theta\) 的直线；

当 \(\theta\) 为参数时，消去参数得到， \((x-at)^2+(y-bt)^2=\lambda^2\)，刻画的是以点 \((at,bt)\) 为圆心，半径为 \(|\lambda|\) 的圆；

故选 \(C\).

难点题目

【北师大选修教材4-4 \(P_{_{54}}\) 复习题二 \(B\)组第 \(2\) 题】已知曲线的参数方程是 \(\left\{\begin{array}{l}x=\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})\cos\theta .\\y=\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})\sin\theta .\end{array}\right.\) (\(\theta\neq \cfrac{k\pi}{2}\)，\(k\in \Z\))

(1). 若 \(\theta\) 是参数，则方程表示的曲线是___________，它的普通方程是___________.

解析：若 \(\theta\) 是参数，消去参数，得到 \(\cfrac{x^2}{(\frac{e^t+e^{-t}}{2})^2}+\cfrac{y^2}{(\frac{e^t-e^{-t}}{2})^2}=1\)，故其表示的曲线是椭圆；

(2). 若 \(t\) 是参数，则方程表示的曲线是___________，它的普通方程是___________.

解析：若 \(t\) 是参数，消去参数，首先变形为 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{2x}{\cos\theta}=e^t+e^{-t}①.\\\cfrac{2y}{\sin\theta}=e^t-e^{-t}② .\end{array}\right.\)

然后，两式分别平方相减，得到 \(\cfrac{x^2}{\cos^2\theta}-\cfrac{y^2}{\sin^2\theta}=1\) ，故其表示的曲线是双曲线；

已知参数方程：\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta}.\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta}.\end{array}\right.\) \(\quad\) (\(t\neq 0\))，

(1)若\(t\)为常数，\(\theta\)为参数，判断方程表示什么曲线？

分析：观察参数\(\theta\)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。

由于已知\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta①}\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta②}\end{array}\right.\)，故分类讨论如下：

\(1^{\circ}\)、当\(t\neq \pm1\)时，由①得到\(sin\theta=\cfrac{x}{t+\frac{1}{t}}\)，由②得到\(cos\theta=\cfrac{y}{t-\frac{1}{t}}\)，

平方相加得，\(\cfrac{x^2}{(t+\frac{1}{t})^2}+\cfrac{y^2}{(t-\frac{1}{t})^2}=1\)，

其表示的是中心在原点， 长轴长为\(2|t+\cfrac{1}{t}|\)，短轴长为\(2|t-\cfrac{1}{t}|\)，焦点在\(x\)轴上的椭圆；

\(2^{\circ}\)、当\(t= \pm1\)时，此时\(y=0\)，\(x=\pm 2sin\theta\)，则\(x\in [-2，2]\)，

其表示的是以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的线段；

综上可知，

当\(t\neq \pm1\)时，原方程表示焦点在\(x\)轴的椭圆；

当\(t=\pm 1\)时，原方程表示以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的线段；

(2)若\(\theta\)为常数，\(t\)为参数，方程表示什么曲线？

分析：观察参数\(t\)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。

由于已知\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta①}\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta②}\end{array}\right.\)，故分类讨论如下：

\(1^{\circ}\)、当\(\theta\neq \cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)时，由①得到\(\cfrac{x}{sin\theta}=t+\cfrac{1}{t}\)，

由②得到\(\cfrac{y}{cos\theta}=t-\cfrac{1}{t}\)，平方相减得到，

\(\cfrac{x^2}{sin^2\theta}-\cfrac{y^2}{cos^2\theta}=4\)，即\(\cfrac{x^2}{4sin^2\theta}-\cfrac{y^2}{4cos^2\theta}=1\)，

其表示的是中心在原点，实轴长为\(4|sin\theta|\)，虚轴长为\(4|cos\theta|\)，焦点在\(x\)轴上的双曲线；

\(2^{\circ}\)、当\(\theta=k\pi(k\in Z)\)时，\(x=0\)，它表示\(y\)轴；

\(3^{\circ}\)、当\(\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)时，\(y=0\)，\(x=\pm(t+\cfrac{1}{t})\)，

当\(t>0\)时，\(x=t+\cfrac{1}{t}\ge 2\)，当\(t<0\)时，\(x=-(t+\cfrac{1}{t})\leq 2\)，

则\(|x|\ge 2\)，方程\(y=0(|x|\ge 2)\)表示\(x\)轴上以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的向左、向右的两条射线；

综上可知，

当\(\theta\neq \cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)，方程表示焦点在\(x\)轴上的双曲线；

当\(\theta=k\pi(k\in Z)\)时，\(x=0\)，它表示\(y\)轴；

当\(\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)时，方程表示\(x\)轴上以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的向左、向右的两条射线；