随笔分类 - 学习笔记
摘要：仅适用于整形的读入输出以及单个字符的输出，对于字符串类型，$fread$有大概率会出现未知原因错误，不用于读入字符串型。 namespace FIO{ constexpr int SZ=1<<22; char inbuf[SZ],outbuf[SZ],*s=inbuf,*t=inbuf,*p=out
阅读全文
摘要：康拓展开用于求一个排列在所有排列中的排名。 也常用与哈希。 $rank=\sum_{i=1}^{n}sum_{a_i}(n-i)!$，其中 $sum_{a_i}$ 表示在 $i$ 之后的，且值比 $a_i$ 小的数的个数。 对于排名，一位一位进行考虑。 设当前考虑到第 $i$ 位，比 $a_i$ 小
阅读全文
摘要：光速幂，在 $O(\sqrt n)$ 的时间复杂度内预处理，以 $O(1)$ 的时间复杂度求幂，用于求解同一底数和模数，多次求幂。 假设底数为 $x$，模数为 $p$，首先预处理 $x^0,x^1,x^2...x^{\sqrt n}$，再预处理 $x^0,x^{\sqrt n},x^{2\sqrt
阅读全文
摘要：求解 $a^x\equiv b(\mod p)$. 大步小步算法，$BSGS（baby-step giant-step）$，要求 $gcd(a,p)=1$，可在 $O(\sqrt p)$ 时间复杂度内求解。 在 $p<=10^{16}$ 时没有大问题。 方程的解满足 $0<=x<p$. 令 $t=\
阅读全文
摘要：####Lucas定理 用于求解大组合数取模且模数为质数的情况。 定理，$\binom{n}{m}=\binom{\left \lfloor \frac{n}{p}\right \rfloor}{\left \lfloor \frac{m}{p}\right \rfloor}*\binom{n\mo
阅读全文
摘要：中国剩余定理，$Chinese Remainder Theorem, CRT$，用于求解模数两两互质的一元线性同余方程组。 $x\equiv a_1(\mod n_1)$ $x\equiv a_2(\mod n_2)$ $x\equiv a_k(\mod n_k)$ 计算所有模数的积 $n$. 对于
阅读全文
摘要：形如 $ax\equiv b(\mod n)$ 的方程称为线性同余方程，从区间 $[0,n-1]$ 中求解 $x$. 逆元求解。 假设 $gcd(a,n)=1$，两边同时乘上 $a^{-1}$ 即可。 设 $g=gcd(a,n)$，左侧始终可以 被 $g$ 整除，若右侧不可则无解。 若右侧可以被 $
阅读全文
摘要：若线性同余方程 $ax\equiv1(\mod b)$，则称 $x$ 为 $a\mod b$时的逆元，记作$a^{-1}$。 扩展欧几里得求逆元。 要求 $gcd(a,b)=1$. int exgcd(int a,int b,int&x,int&y){ if(!b)return x=1,y=0,a;
阅读全文
摘要：裴蜀定理，又名贝祖定理。 对于整数 $(a,b)$，一定存在整数 $(x,y)$，满足 $ax+by=gcd(a,b)$. 推广到多个式子也一样成立。 P4549 【模板】裴蜀定理 给定一个序列 $a_i$，构造一个等长的序列 $x_i$，使得 $\sum_{i=1}^{n}{a_i*x_i}$ 最
阅读全文
摘要：欧拉函数 欧拉函数 $\phi(n)$ 表示小于等于 $n$ 的和 $n$ 互质的数的个数。 求一个数 $n$ 的欧拉函数，设将 $n$ 质因数分解后的质因数集合为 $p_{1...m}$ ，则 $\phi(n)=n*\prod_{i=1}^{m}\frac{p_i-1}{p_i}$. inline
阅读全文
摘要：数论分块 对于含有除法向下取整的式子，可以使用数论分块，将 $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ 相同的数统一计算。 使式子 $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor = \left \lfloor \frac
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号