线性同余方程

形如 \(ax\equiv b(\mod n)\) 的方程称为线性同余方程，从区间 \([0,n-1]\) 中求解 \(x\).

逆元求解。

假设 \(gcd(a,n)=1\)，两边同时乘上 \(a^{-1}\) 即可。

设 \(g=gcd(a,n)\)，左侧始终可以 被 \(g\) 整除，若右侧不可则无解。

若右侧可以被 \(g\) 整除，则将 \(a,b,n\) 同时除以 \(g\)，得到 \(a'x\equiv b'(\mod n')\).

此时 \(gcd(a',n')=1\)，回到上面的情况。

所以解为 \(x\equiv x'+i*n'(\mod n),i\in[0,g-1]\)，个数为 \(g\) 个或 \(0\) 个。

扩展欧几里得算法求解。

方程可以写成 \(ax+nk= b\)，有解的充要条件是 \(gcd(a,n)|b\).

先算出 \(ax_0+nk_0=gcd(a,n)\)，之后两边同时除以 \(gcd(a,n)\) 再乘上 \(b\) 即为一组解。

即 \(a=\frac{x_0}{gcd(a,n)}b,k=\frac{k_0}{gcd(a,n)}b\).

若 \(gcd(a,n)=1,ax+nk=b\) 的一组特解为 \(x_0,k_0\)，则任意解可以写成 \(x=x_0+nt,k=k_0-at,t\) 为任意整数。

对于求一个最小整数解，\(x=(x\mod t+t)\mod t,t=\frac{n}{gcd(a,n)}\)

P2613 【模板】有理数取余

给定 \(a,b,p\)，求 \(c=\frac{a}{b}(\mod p),0<=a<=10^{10001},1<=b<=10^{10001}\).

读入过大，但是是同余方程，可以在读入时将其进行取模，当 \(b\) 是 \(p\) 的倍数时不存在逆元，分母为零，无解。

constexpr int N=5e6+6,mod=19260817;
template<class T>inline T readmod(T&x){
    char c=getchar();x=0;
    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),x%=mod,c=getchar();
    return x;
}
signed main(){
    int a,b,x,y;
    readmod(a),readmod(b);
    if(b==0){
        cout<<"Angry!";
        return 0;
    }
    exgcd(b,mod,x,y);
    x=(x%mod+mod)%mod;
    cout<<a*x%mod;
    return 0;
}

P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)

求解二元一次不定方程 \(ax+by=c\).

首先找到特解 \(ax+by=c\)，假设将 \(x\) 扩大为 \(x+p\)，\(y\) 缩小为 \(y-q\).

则有，\(a(x+p)+b(y-q)=c,ax+by=c\).

解得，\(p=\frac{bq}{a},q=\frac{ap}{b}\)，由于需要获得最小的正整数，所以 \(a|bq,b|ap\).

故，\(b*q_{min}=a*p_{min}=lcm(a,b)=\frac{ab}{gcd(a,b)}\).

可以得到 \(p_{min}=\frac{b}{g},q_{min}=\frac{a}{g}\)，也就是 \(x,y\) 的最小增幅。

考虑将 \(x\) 调整至最小正整数解。

假设 \(x<0\)，设 \(x+kp>=1\)，则 \(k>=\left \lceil \frac{1-x}{p} \right \rceil\).

若 \(x>1\)，则 \(k=\left \lfloor \frac{x-1}{p} \right \rfloor\).

若 \(x\) 为最小正整数时 \(y>0\)，则正整数解的个数为 \(\left \lfloor \frac{y-1}{q} \right \rfloor +1\).

注意调整 \(x,y\) 是应该系数在前面，\(p,q\) 在后面，来避免上下取整造成的误差与错误。

    while(t--){
        int a,b,c,x,y;
        cin>>a>>b>>c;
        int g=exgcd(a,b,x,y);
        if(c%g){
            cout<<-1<<'\n';
            continue;
        }
        x*=c/g;
        y*=c/g;
        int p=b/g,q=a/g,k;
        if(x<0){
            k=ceil((1.0-x)/p);
            x+=k*p;
            y-=k*q;
        }
        else{
            k=(x-1)/p;
            x-=k*p;
            y+=k*q;
        }
        if(y>0)cout<<(y-1)/q+1<<' '<<x<<' '<<(y-1)%q+1<<' '<<x+(y-1)/q*p<<' '<<y<<'\n';
        else cout<<x<<' '<<y+(int)ceil((1.0-y)/q)*q<<'\n';/*注意要对ceil强制转换才能当做系数*/
    }