表达式计算

平常写表达式，一般运算符在数的中间，比如 \(1 + 3 \times 5\)，其中 \(+\) 在 \(1\) 和 \(3 \times 5\) 之间，\(\times\) 在 \(3\) 和 \(5\) 中间，这种表达式称为中缀表达式。中缀表达式对人类友好，但对计算机没那么友好。对计算机友好的表达式是“后缀表达式”，顾名思义，后缀表达式中运算符在参数的后面。对于计算机而言，后缀表达式比中缀表达式更容易计算，另外，后缀表达式的运算机制可以避免掉括号，这也是它相对于中缀表达式的一大优势。

计算题：中缀表达式 ((6-3)*2+7)/(5^(3*4+2)) 对应的后缀表达式为？

答案

选择题：表达式 a*d-b*c 的前缀形式是？

A. ad*bc*-
B. -*ad*bc
C. a*d-b*c
D. -**adbc

答案

B。

转换的核心是遵循运算符的优先级。

在表达式 a*d - b*c 中，乘法 * 的优先级高于减法 -。因此，必须先计算两个乘法，再计算减法。可以为表达式加上括号来明确这个运算顺序：((a * d) - (b * c))。

中缀表达式 (a * d) 转前缀则是将运算符 * 提到前面，得到 * a d。同理，中缀表达式 (b * c) 转换成前缀表达式得到 * b c。

经过上一步，表达式现在可以看作是 (子表达式1) - (子表达式2)，而这个表达式转前缀将运算符 - 提到最前面，得到 - 子表达式1 子表达式2。

所以最终结果是：- * a d * b c。

后缀表达式求值

栈的一大用处是做算术表达式的计算，对于计算机来讲，它最容易理解后缀表达式，可以使用栈来 \(O(N)\) 地求出它的值。

建立一个用于存数的栈，逐一扫描该后缀表达式中的元素。
- 如果遇到一个数，则把该数入栈。
- 如果遇到运算符，就取出栈顶的两个数进行计算，把结果入栈。
扫描完成后，栈中恰好剩下一个数，就是该后缀表达式的值。

以后缀表达式 2 4 * 1 3 + - 为例：首先从左往右读式子，读到了乘号。乘法有两个参数，所以取出前面的 2 和 4，算出 \(2 \times 4 = 8\)。于是可以擦掉 2 4 *，写上 8，式子变成 8 1 3 + -。读到加号之后，取出前面的 1 和 3，算出 \(1+3=4\)，把式子改写成 8 4 -。接着读到减号之后取出 8 和 4，算出 \(8-4=4\)，于是最后的式子就是 4，这就是期望的结果。

例题：P1449 后缀表达式

参考代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
using std::stack;
const int N = 55;
char s[N];
int main()
{
	scanf("%s", s + 1);
	int len = strlen(s + 1);
	int num=0;
	stack<int> st; // 存储运算数的栈
	for (int i = 1; i <= len; i++) {
		if (s[i]>='0'&&s[i]<='9') {
			// 更新数字
			num=num*10+(s[i]-'0');
		} else if (s[i]=='.') {
			// num就作为一个运算的数字加入到栈中
			st.push(num);
			num=0;
		} else if (s[i]=='@') {
			break;
		} else {
			// +-*/
			// 取出栈顶的两个元素
			// top() 表示取栈顶
			// pop() 表示弹出栈顶
			// empty() 返回一个栈是否为空
			// true对应空，false对应非空
			int x=st.top(); st.pop();
			int y=st.top(); st.pop();
			// x和y就是最近两次压入栈中的运算数
			int z;
			if (s[i]=='+') {
				z=y+x;
			} else if (s[i]=='-') {
				z=y-x;
			} else if (s[i]=='*') {
				z=y*x;
			} else {
				z=y/x;
			}
			st.push(z);
		}
	}
	printf("%d\n", st.top());
    return 0;
}

中缀表达式转后缀表达式

如果想让计算机求解人类常用的中缀表达式的值，最快的办法就是把中缀表达式转化成后缀表达式，再进行后缀表达式求值的方法，这个转化过程同样可以使用栈来 \(O(N)\) 地完成。

调度场算法

调度场算法由 Edsger Dijkstra 发明，用于将中缀表达式转换为后缀表达式。在这个过程中配合后缀表达式求值的原理，即可通过一次扫描求出原始的中缀表达式的计算结果。

核心概念

双栈设计

为了直接求值，维护两个栈：

操作数栈：存储解析出的数字。
运算符栈：存储待执行的运算符和左括号。

运算符优先级

不同运算符有不同的优先级，决定了计算的顺序。例如：

最高：^（幂运算）
次高：-（一元负号）
中等：*、/
最低：+、-

结合性

当两个运算符优先级相同时，结合性决定了计算方向：

左结合：从左向右算，例如 a - b - c 等价于 (a - b) - c，大多数运算符（加减乘除）都是左结合。
右结合：从右向左算，例如 a ^ b ^ c 等价于 a ^ (b ^ c)，幂运算通常是右结合。

算法流程

从左到右扫描表达式字符串，根据字符类型执行不同操作：

数字处理：如果遇到数字，解析完整的数值并压入操作数栈。
左括号：直接压入运算符栈，它起到隔离作用，直到遇到右括号。
右括号：不断弹出运算符栈栈顶的运算符并执行计算，直到遇到左括号，这步操作将括号内的表达式全部归约为一个数值。
运算符处理：这是算法的核心。
- 区分负号和减号：- 既可以是减号（二元），也可以是负号（一元）。策略：维护一个 flag 变量，初始为 true，遇到 ( 或运算符置 true，遇到数字或 ) 置 false，如果读到 - 且 flag 等于 true，则将其改为一个特殊标记（例如用 @ 替代一元负号）。
- 调度逻辑
  - 如果是一元负号，直接入栈（因为它是右结合且优先级很高，等待后面的数字）。
  - 如果是二元运算符，需要维护栈内优先级的单调性，循环检查运算符栈的栈顶元素：
    - 如果栈顶优先级高，必须先算栈顶。
    - 如果和栈顶优先级一样大：对于左结合运算，栈顶先算；对于右结合运算，栈顶后算（因为要等右边的结果），所以跳出循环，当前运算符入栈。
    - 如果栈顶优先级低，当前优先级高，跳出循环，当前运算符入栈。

例题：P10473 表达式计算4