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posted @ 2020-10-04 20:09
panjoel
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posted @ 2020-10-04 20:07
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设 \(f\) 是数论函数，若对任意互素的正整数 \(a,b\)，有 \(f (ab) = f (a)f (b)\) 则称 \(f\) 是积性函数。 常⻅的积性函数有因数个数函数 \(d\)，因数和函数 \(σ\)，欧拉函数 \(ϕ\)，莫比 乌斯函数 \(µ\) 等。 积性函数通常可以用欧拉筛法在 阅读全文
posted @ 2020-10-04 20:04
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在这里提供三种线性筛的讲解,它们分别是:素数筛,欧拉筛和莫比乌斯筛。 筛法正确性的重要理论依据： 上述函数均为积性函数。积性函数的性质为:若f(x)是一个积性函数,那么对于任意素数a,b,满足f(ab)=f(a)*f(b) 一些可爱的要点(有助于理解筛法原理)： 1.欧拉筛和莫比乌斯筛是以素数筛为基 阅读全文
posted @ 2020-10-04 20:02
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对于质数 \(p\) 和正整数 \(a\)，如果 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，那么有 \(a^{p−1} ≡ 1 (mod\) \(p)\) 考虑 \(a,2a,...,(p −1)a\) 共 \(p −1\) 个数，可以证明它们对 \(p\) 取模得到的余数两两不等，从而形成 $1,2, 阅读全文
posted @ 2020-10-04 19:43
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如果尝试对取模后的结果直接进行除法运算，可能会出现除不尽的问题， 这时候就需要用到乘法逆元。 乘法逆元有着类似倒数的性质：对于正整数 \(x\)，如果存在正整数 \(y\)，满足 \(xy ≡ 1 (mod\) \(p)\) 则 \(x,y\) 互为模 \(p\) 意义下的乘法逆元。 当我们想做除法 阅读全文
posted @ 2020-10-04 19:35
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对于任意整数 $a,b，$存在整数 \(x,y\)，满足方程 \(ax + by = gcd(a,b)\) 特别地，当 \(gcd(a,b) = 1\) 时，方程变为 \(ax + by = 1\) 为了解这个方程，可以使用扩展欧几里得算法。 阅读全文
posted @ 2020-10-04 19:29
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posted @ 2020-10-04 19:26
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对于正整数 a,b，记 \(a\)%\(b\) \(=\) \(a−⌊ab⌋·b\) 表示 \(a\) 除以 \(b\) 的余数。 如果两个整数 \(a,b\) 满足 \(a\)%\(m = b\)%\(m\)，则可以记作 \(a ≡ b (mod\) \(m)\) 称 \(a,b\) 关于模 \( 阅读全文
posted @ 2020-10-04 19:02
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posted @ 2020-10-04 18:02
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\(n\) 个人排成一队，有多少种不同的方案？ \(n × (n − 1) × (n − 2) × ··· × 1 = n!\) \(n\) 个人中，选出 \(k\) 个排成一队，有多少种不同的方案？ \(n × (n − 1) × (n − 2) × ··· × (n − k + 1) = n!/ 阅读全文
posted @ 2020-10-04 18:01
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当交集比并集更好计算时，可以通过容斥原理来转化： \(|A ∪B| = |A| + |B| − |A ∩B|\) \(|A ∪B∪C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩B| − |A ∩C| − |B∩C| + |A ∩B∩C|\) 更一般的形式： 证明：考虑集合中每个元素对等式两边 阅读全文
posted @ 2020-10-04 17:58
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记 \(S\) 为全集，则 \(|A| = |S| − |S \ A|\) 常用于：当直接统计具有一种性质的事物个数较为困难时，考虑统计不具有这种性质的事物个数，再用总数减去这个值。例如：班上一共有 \(n\) 个同学，老师点名，到了 \(m\) 个，则有 \(n− m\) 个同学没来。 阅读全文
posted @ 2020-10-04 17:54
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记 \(A × B = {(a,b)|a ∈ A,b ∈ B}\)（笛卡尔积），则 \(|A × B| = |A||B|\) 常用于分步计数，考虑做一件事的不同阶段。需要各阶段相互独立，互不影响。例如：吃套餐，主菜有 \(n\) 种，饮料有 \(m\) 种，任意搭配，则共有 \(nm\) 种方 案。 阅读全文
posted @ 2020-10-04 17:50
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若 \(A ∩B = ∅\)，则 \(|A ∪B| = |A| + |B|\) 常用于分类计数，考虑不同情况。注意不重不漏。 例如：吃套餐，需要选一份披萨或意面，披萨有$n$种，意面有$m$种，则 共有$n+m$种方案。 阅读全文
posted @ 2020-10-04 17:47
panjoel
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