费⻢小定理

对于质数 \(p\) 和正整数 \(a\)，如果 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，那么有
\(a^{p−1} ≡ 1 (mod\) \(p)\)
考虑 \(a,2a,...,(p −1)a\) 共 \(p −1\) 个数，可以证明它们对 \(p\) 取模得到的余数两两不等，从而形成 \(1,2,..., p − 1\) 的一个排列；因此有
\(a · 2a···(p − 1)a ≡ (p − 1)! (mod\) \(p)\)
又因为 \((p − 1)! \not \equiv 0 (mod\) \(p)\)，两侧可以同时除去，得到
\(a^{p−1} ≡ 1 (mod\) \(p)\)