乘法逆元

如果尝试对取模后的结果直接进行除法运算，可能会出现除不尽的问题，
这时候就需要用到乘法逆元。
乘法逆元有着类似倒数的性质：对于正整数 \(x\)，如果存在正整数 \(y\)，满足
\(xy ≡ 1 (mod\) \(p)\)
则 \(x,y\) 互为模 \(p\) 意义下的乘法逆元。
当我们想做除法运算时，可以用乘上对应的乘法逆元来代替。
当 \(x\) 与 \(p\) 互素时，存在唯一的 \(x\) 的逆元。当 \(p\) 是素数时，所有不是 \(p\)的倍数的整数都有唯一的逆元，所以大部分题目都会对素数取模。

扩展欧几里得算法求逆元

求逆元就是求如下方程的解：
\(ax ≡ 1 (mod\) \(p)\)
也就是
\(ax − kp = 1,k ∈ Z\)
假如 \(gcd(a, p) = 1\)（也就是逆元存在的条件），就可以用扩欧来计算 \(x\)了。注意结果可能是负数，此时需要再加上 \(p\)。

利用费⻢小定理求逆元

根据费⻢小定理
\(a^{p−1} ≡ 1 (mod\) \(p)\)
改写一下，就得到
\(a · a^{p−2} ≡ 1 (mod\) \(p)\)
于是 \(a^{p−2}\)%\(p\) 就是 \(a\) 的逆元，可以通过快速幂来计算，也是非常实用的一种求逆元方法。