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2026年5月27日

摘要：随机算法并不是把正确性交给运气。更准确地说，它是在设计一种承诺：哪些东西必须保证，哪些东西允许带概率，概率又被限制在什么范围内。有些随机算法把不确定性放在“答案质量”上。它会在规定时间内结束，但答案可能偶尔出错。另一些随机算法则反过来：答案一旦输出就一定正确，但具体运行多久由随机过程决定。它们被挂阅读全文

posted @ 2026-05-27 21:52 Ofnoname 阅读(46) 评论(0) 推荐(0)

行行重行行：用 Prefix Scan 做方阵乘法

摘要：在离散时间的量子演化里，我们经常面对一串小规模 dense 方阵。它们可能来自 Trotter 分解、分段常哈密顿量、控制脉冲序列，或者某个时间网格上的局部传播子。把这些矩阵记作 $A_0, A_1, \dots, A_{n-1}$，最直接的问题是计算最终连乘 \(A_0 A_1 \cdots 阅读全文

posted @ 2026-05-27 17:07 Ofnoname 阅读(20) 评论(0) 推荐(0)

把坏运气关在门外：哈希的随机化之路

摘要：哈希表通常被描述成“均摊 $O(1)$”的数据结构。这个说法在日常编程里很好用，但它暗含了一个前提：输入没有系统性地撞向同一批桶。只要这个前提失效，哈希表就会从一个轻快的工具变成一条很长的链表，或者一段反复探测的泥潭。当输入可能很坏，或者你无法相信输入分布时，怎样用随机化把坏运气挡在门外。确阅读全文

posted @ 2026-05-27 11:55 Ofnoname 阅读(222) 评论(0) 推荐(0)

2026年5月26日

哈希家族的葫芦娃七兄弟

摘要：很多概念都叫“哈希”：哈希表里的 hash，SHA-256 这样的密码学哈希，局部敏感哈希 LSH，一致性哈希，滚动哈希，Bloom Filter 里的多重哈希，甚至还有专门存密码用的 bcrypt、Argon2。它们名字相似，实际目标差得很远。一个共同抽象可以写成：给定输入 $x$，要设计哈阅读全文

posted @ 2026-05-26 19:03 Ofnoname 阅读(42) 评论(0) 推荐(0)

在影子里验证比较对象：随机指纹和哈希的数学原理

摘要：程序里经常会遇到一种看似朴素、实际很贵的问题：两个东西是不是一样？它可能是两个字符串、两个文件、两个集合、一段文本里的子串，或者三个矩阵是否满足 $A \cdot B = C$。如果对象本身很大，尤其是在对象需要跨机器通信、被反复比较、以流式方式到达，或者比较结果只需要高概率可靠时，直接逐个字阅读全文

posted @ 2026-05-26 18:30 Ofnoname 阅读(169) 评论(0) 推荐(0)

2026年5月25日

四边形不等式优化：从石子合并到划分 DP

摘要：石子合并大概是很多人学区间动态规划时遇到的第一道例题。题目很简单：一排石子，每次合并相邻两堆，代价是合并后的石子总数，问把所有石子合并成一堆的最小总代价。经典解法是设 $\text{dp}[i][j]$ 为合并区间 $[i,j]$ 的最小代价，前缀和求出区间和 \(\text{cost}(i 阅读全文

posted @ 2026-05-25 16:16 Ofnoname 阅读(41) 评论(0) 推荐(0)

2026年5月24日

Strassen 矩阵分治乘法

摘要：矩阵乘法看起来太基础了，以至于很容易被当成一个已经“没有算法空间”的操作。两个 $n \times n$ 矩阵相乘，按定义写三层循环，时间复杂度是 $O(n^3)$： \[C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj} \]这个式子直接翻译成代码很自然：每个 \(C 阅读全文

posted @ 2026-05-24 21:52 Ofnoname 阅读(96) 评论(0) 推荐(0)

用 $O(n\log n)$ 求解平面最近点对

摘要：最近点对是一个很典型的几何分治问题。题目本身很直接：给定平面上的 $n$ 个点，找出欧氏距离最小的一对点。暴力做法不难写，两层循环枚举所有点对，复杂度是 $O(n^2)$。当 $n$ 只有几千时还可以接受，但如果 $n$ 到了 $10^5$ 量级，就必须换思路。这个问题的经典阅读全文

posted @ 2026-05-24 21:17 Ofnoname 阅读(46) 评论(2) 推荐(1)

2026年5月18日

用 FFT 和 NTT 解决多项式乘法

摘要：多项式乘法是一个很常见重要的问题。给两个多项式 \[A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_i x^i,\qquad B(x)=\sum_{j=0}^{m-1}b_j x^j \]那么它们的乘积 $C(x)=A(x)B(x)$ 的第 $k$ 项系数是 \[c_k=\sum_{i+j=k 阅读全文

posted @ 2026-05-18 16:28 Ofnoname 阅读(261) 评论(0) 推荐(1)

2026年5月10日

从回溯到分支限界：重新理解搜索、剪枝与最优性证明

摘要：很多程序员第一次接触“搜索”，是在 LeetCode 上的全排列、组合、子集、N 皇后、数独、单词搜索这些题里。这些题做多了以后，我们很容易形成一套肌肉记忆：递归、选择、撤销选择、剪枝。但搜索算法真正重要的地方，并不在递归本身。递归只是遍历方式。搜索真正关心的是：如何把一个巨大的候选空间组织成一阅读全文

posted @ 2026-05-10 23:07 Ofnoname 阅读(252) 评论(0) 推荐(0)

万水千山只等闲