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摘要： 很多程序员第一次接触“搜索”，是在 LeetCode 上的全排列、组合、子集、N 皇后、数独、单词搜索这些题里。这些题做多了以后，我们很容易形成一套肌肉记忆：递归、选择、撤销选择、剪枝。 但搜索算法真正重要的地方，并不在递归本身。 递归只是遍历方式。搜索真正关心的是：如何把一个巨大的候选空间组织成一 阅读全文

摘要： 编程时写整数乘法，通常我们不会太关心底层细节。a * b 写起来非常自然，好像一条语句就能瞬间完成。 对固定宽度整数来说，比如 32 位或 64 位整数，乘法通常确实可以由少量机器指令完成，成本可以近似看成常数。但如果是两个几千位、几万位甚至更大的整数相乘，情况就不一样了。此时 * 背后不再是一条简 阅读全文

摘要： 在学习算法时，我们肯定会关注效率。于是我们会分析时间复杂度，比如 \(O(n)\)、\(O(n\log n)\)、\(O(n^2)\)。 但这只是算法分析的一半。另一半问题是：这个问题本身最快能做到多快？也就是说，在某个给定的计算模型下，不管你设计什么算法，它都不可能突破某个理论下界。 如果一个算法 阅读全文

摘要： 上一篇文章里，我们已经讲过 P、NP 和 NP-Complete：P 是可以高效求解的问题，NP 是可以高效验证答案的问题，而 NP-Complete 是 NP 里最“硬核”的一批问题。 但如果继续追问下去，会出现一些更底层的问题：什么叫算法？怎样算高效？怎么精确定义时间和空间？ 作为程序员，我们很 阅读全文

摘要： 学习算法课学习到后期，都会进入一个看起来很理论话题：P、NP、NP-hard、NP-complete。这些概念想回答的核心问题是给各种问题和算法分类： 某个问题到底是“可以高效解决”，还是“很可能没有高效精确算法”？ 这个判断非常重要。因为如果一个问题本质上是 NP-complete，那么你继续死磕 阅读全文

摘要： 矩阵链乘法是动态规划中的经典区间 DP 问题。它的重点并不是如何计算两个矩阵相乘，而是：给定一串矩阵相乘，如何加括号，才能让总计算代价最小？ 如果矩阵 \(A\) 的大小是 \(a \times b\)，矩阵 \(B\) 的大小是 \(b \times c\)，那么 \(AB\) 的大小是 \(a 阅读全文

摘要： 动态数组扩容问题是均摊复杂度分析最经典的应用： 动态数组的尾插 push_back，有时会触发扩容； 一旦扩容，就要申请更大的内存、搬运旧元素、再插入新元素。某一次操作的代价完全可能是 \(O(n)\) 但是，动态数组尾插的复杂度是均摊 \(O(1)\) 类似的现象其实非常多：单看某一次操作，它们都 阅读全文

摘要： 之前我们讲了主定理，用来解决： \( T(n)=aT(n/b)+f(n) \) 的复杂度 但现实里的递归，往往没有这么整齐。比如每个子问题的规模不同： \[T(n)=T(n/2)+T(n/3)+n \]这时候，主定理就不能直接用了。这篇我们讲一个更强的工具：Akra–Bazzi 定理。 主定理的扩展 阅读全文

摘要： “求数组中第 k 大的元素”是一个非常经典的问题。 最直接的做法是先排序，再取排序后的第 k 个元素。但排序的时间复杂度是 O(n log n)。能不能做到 O(n)？ 问题定义 给定一个长度为 n 的数组 nums，求其中第 k 大的元素。 例如： nums = [3, 2, 1, 5, 6, 4 阅读全文

摘要： 很多人第一次接触动态规划，都是从“走格子”开始的：在一个二维网格上，从起点走到终点，每次只能做有限几种移动，问方案数、最小代价，或者最大收益。 第一题：最小路径和 给定一个 \(n \times m\) 的非负整数网格 \(a\)，从左上角出发走到右下角，每次只能向右或向下走一步，路径上的数字都要累 阅读全文