Ofnoname

摘要： 我们平时说一个算法是 \(O(n)\)、\(O(n \log n)\)、\(O(\sqrt n)\)，大多是在一种心照不宣的模型里说的：数组下标、整数加减、比较、取模，都算作一次“基本操作”。这套说法对大多数工程代码很有用。你在 64 位机器上排序一批整数，或者用哈希表查几个 key，通常不需要追问 阅读全文

摘要： 很多算法的分析都会从一句熟悉的话开始：期望（平均）时间是 ……。这句话好用、干净，也常常是真的。 比如说，随机快速排序的期望时间是 \(O(n \log n)\)，哈希表一次查找的期望时间是 \(O(1)\)，跳表的期望查找时间是 \(O(\log n)\)。期望复杂度告诉我们，一个涉及随机性的程序 阅读全文

摘要： 很多随机算法并不是靠“运气好”工作，而是靠候选空间里存在大量可用证据。只要证据足够密集，随机抽样就不再像碰运气，而更像一种低成本的搜索策略。 对于某个输入 \(x\)，如果额外给出一段信息 \(w\)，我们就能比直接求解更高效地验证某个结论。在计算复杂性中，这类辅助信息通常被称为 witness，也 阅读全文

摘要： 随机算法并不是把正确性交给运气。更准确地说，它是在设计一种承诺：哪些东西必须保证，哪些东西允许带概率，概率又被限制在什么范围内。 有些随机算法把不确定性放在“答案质量”上。它会在规定时间内结束，但答案可能偶尔出错。另一些随机算法则反过来：答案一旦输出就一定正确，但具体运行多久由随机过程决定。它们被挂 阅读全文

摘要： 在离散时间的量子演化里，我们经常面对一串小规模 dense 方阵。它们可能来自 Trotter 分解、分段常哈密顿量、控制脉冲序列，或者某个时间网格上的局部传播子。把这些矩阵记作 \(A_0, A_1, \dots, A_{n-1}\)，最直接的问题是计算最终连乘 \(A_0 A_1 \cdots 阅读全文

摘要： 哈希表通常被描述成“均摊 \(O(1)\)”的数据结构。这个说法在日常编程里很好用，但它暗含了一个前提：输入没有系统性地撞向同一批桶。只要这个前提失效，哈希表就会从一个轻快的工具变成一条很长的链表，或者一段反复探测的泥潭。 当输入可能很坏，或者你无法相信输入分布时，怎样用随机化把坏运气挡在门外。 确 阅读全文

摘要： 很多概念都叫“哈希”：哈希表里的 hash，SHA-256 这样的密码学哈希，局部敏感哈希 LSH，一致性哈希，滚动哈希，Bloom Filter 里的多重哈希，甚至还有专门存密码用的 bcrypt、Argon2。它们名字相似，实际目标差得很远。 一个共同抽象可以写成：给定输入 \(x\)，要设计哈 阅读全文

摘要： 程序里经常会遇到一种看似朴素、实际很贵的问题：两个东西是不是一样？ 它可能是两个字符串、两个文件、两个集合、一段文本里的子串，或者三个矩阵是否满足 \(A \cdot B = C\)。如果对象本身很大，尤其是在对象需要跨机器通信、被反复比较、以流式方式到达，或者比较结果只需要高概率可靠时，直接逐个字 阅读全文

摘要： 石子合并大概是很多人学区间动态规划时遇到的第一道例题。题目很简单：一排石子，每次合并相邻两堆，代价是合并后的石子总数，问把所有石子合并成一堆的最小总代价。经典解法是设 \(\text{dp}[i][j]\) 为合并区间 \([i,j]\) 的最小代价，前缀和求出区间和 \(\text{cost}(i 阅读全文

摘要： 矩阵乘法看起来太基础了，以至于很容易被当成一个已经“没有算法空间”的操作。两个 \(n \times n\) 矩阵相乘，按定义写三层循环，时间复杂度是 \(O(n^3)\)： \[C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj} \]这个式子直接翻译成代码很自然：每个 \(C 阅读全文