一、曲面方程与空间曲线方程的概念

如果曲面 \(S\) 与三元方程

有下述关系：

（1）曲面 \(S\) 上任意一点的坐标都满足方程 \((3-1)\) ；

（2）不在曲面 \(S\) 上的点的坐标都不满足方程 \((3-1)\) ，那么，方程 \((3-1)\) 就叫作曲面 \(S\) 的方程，而曲面 \(S\) 就叫作方程 \((3-1)\) 的图形。

空间曲线可以看作是两个曲面 \(S_1, S_2\) 的交线。设

分别是这两个曲面的方程，它们的交线为 \(C\) 。因为曲线 \(C\) 上 的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组

反过来，如果点 \(M\) 不在曲线 \(C\) 上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组 \((3-2)\) 。因此，曲线 \(C\) 可以用方程组 \((3-2)\) 来表示。方程组 \((3-2)\) 就叫作 空间曲线 \(C\) 的方程 ，而曲线 \(C\) 叫做 方程组 \((3-2)\) 的图形 。

二、平面的点法式方程

如果一非零向量垂直于一平面，那么这个向量就叫做该 平面的法向量 。容易知道，平面上任一向量均与该平面的法向量垂直。

因为过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面 \(\Pi\) 上一点 \(M_0 (x_0, y_0, z_0)\) 和它的一个法向量 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\) 为已知时，平面 \(\Pi\) 的位置就完全确定了。

设 \(M(x, y, z)\) 是平面 \(\Pi\) 上的任一点，则向量 \(\overrightarrow{M_0 M}\) 必与平面 \(\Pi\) 的法向量 \(\boldsymbol{n}\) 垂直，即它们的数量积等于零。

因为 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\) ，\(\overrightarrow{M_0 M} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)\) ，所以有

这就是平面 \(\Pi\) 上任一点 \(M\) 的坐标 \(x, y, z\) 所满足的方程。

反过来，如果 \(M(x, y, z)\) 不在平面 \(\Pi\) 上，那么向量 \(\overrightarrow{M_0 M}\) 与法向量 \(\boldsymbol{n}\) 不垂直，从而 \(\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{M_0 M} \neq 0\) ，即不在平面 \(\Pi\) 上的点 \(M\) 的坐标不满足方程 \((3-3)\) 。

由此可知，平面 \(\Pi\) 上的任一点的坐标 \(x, y, z\) 都满足方程 \((3-3)\) ，不在平面 \(\Pi\) 上的点的坐标都不满足方程 \((3-3)\) 。这样，方程 \((3-3)\) 就是平面 \(\Pi\) 的方程，而平面 \(\Pi\) 就是方程 \((3-3)\) 的图形。因为方程 \((3-3)\) 是由平面 \(\Pi\) 上的一点 \(M_0 (x_0, y_0, z_0)\) 及它的一个法向量 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\) 确定的，所以方程 \((3-3)\) 叫做 平面的点法式方程 。

例 求过三点 \(M_1 (2, -1, 4), M_2 (-1, 3, -2) 和 M_3 (0, 2, 3)\) 的平面的方程。

解：先找出这平面的法向量 \(\boldsymbol{n}\) 。因为向量 \(\boldsymbol{n}\) 与向量 \(\overrightarrow{M_1 M_2}\) 和 \(\overrightarrow{M_1 M_3}\) 都垂直，而 \(\overrightarrow{M_1 M_2} = (-3, 4, -6)\) ，\(\overrightarrow{M_1 M_3} = (-2, 3, -1)\) ，所以可以取它们的向量积为 \(\boldsymbol{n}\) ，即

根据平面的点法式方程 \((3-3)\) ，得所求平面的方程为

即

三、平面的一般方程

因为平面的点法式方程 \((3-3)\) 是 \(x, y 和 z\) 的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示。

反过来，设有三元一次方程

我们任取满足该方程的一组数 \(x_0, y_0, z_0\) ，即

把上述两等式相减，得

把它和平面的点法式方程 \((3-3)\) 作比较，可以知道方程 \((3-6)\) 是通过点 \(M_0 (x_0, y_0, z_0)\) 且以 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\) 为法向量的平面方程。方程 \((3-4)\) 与方程 \((3-6)\) 同解，这是因为由 \((3-4)\) 减去 \((3-5)\) 即得 \((3-6)\) ，又由 \((3-6)\) 加上 \((3-5)\) 就得 \((3-4)\) 。由此可知，任一三元一次方程 \((3-4)\) 的图形总是一个平面。方程 \((3-4)\) 称为 平面的一般方程 ，其中 \(x, y, z\) 的系数就是该平面的一个法向量 \(\boldsymbol{n}\) 的坐标，即 \(\boldsymbol{n} = (A, B, C)\) 。

对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点。

当 \(D = 0\) 时，方程 \((3-4)\) 成为 \(Ax + By + Cz = 0\) ，他表示一个通过原点的平面。

当 \(A = 0\) 时，方程 \((3-4)\) 成为 \(By + Cz + D = 0\) ，法向量 \(\boldsymbol{n} = (0, B, C)\) 垂直于 \(x\) 轴，方程表示一个平行于（或包含） \(x\) 轴的平面。

同样，方程 \(Ax + Cz + D = 0\) 和 \(Ax + By + D = 0\) 分别表示一个平行于（或包含） \(y\) 轴和 \(z\) 轴的平面。

当 \(A = B = 0\) 时，方程 \((3-4)\) 成为 \(Cz + D = 0\) 或 \(z = - \cfrac{D}{C}\) ，法向量 \(\boldsymbol{n} = (0, 0, C)\) 同时垂直于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴，方程表示一个平行于（或重合于） \(xOy\) 面的平面。

同样，方程 \(Ax + D = 0\) 和 \(By + D = 0\) 分别表示一个平行于（或重合于） \(yOz\) 面和 \(zOx\) 面的平面。

四、两平面的夹角

两平面法向量的夹角（通常指锐角或直角）成为两平面的夹角。

设平面 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 的法向量依次为 \(\boldsymbol{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)\) 和 \(\boldsymbol{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)\) ，则平面 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 的夹角 \(\theta\) 应是 \((\widehat{\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2})\) 和 \((\widehat{-\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2}) = \pi - (\widehat{\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2})\) 两者中的锐角或直角，因此 \(\cos \theta = |\cos{(\widehat{\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2})}|\) 。按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面 \(\Pi_1\) 和平面 \(\Pi_2\) 的夹角 \(\theta\) 可由

来确定。

从两向量垂直、平行的充分必要条件即得下列推论：

两平面 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 互相垂直相当于 \(A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0\) ；

两平面 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 互相平行或重合相当于 \(\cfrac{A_1}{A_2} = \cfrac{B_1}{B_2} = \cfrac{C_1}{C_2}\) .