一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 \(z=f(x, y)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 的某一邻域内有定义，当 \(y\) 固定在 \(y_{0}\) 而 \(x\) 在 \(x_{0}\) 处有增量 \(\Delta x\) 时，相应的函数有增量
\[f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)
\]
如果
\[\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}
\]
存在，那么称此极限为函数 \(z=f(x, y)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 处 对 \(x\) 的偏导数 ，记作
\[\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad z_{x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}} 或 f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) .
\]
例如，极限（2－1）可以表示为
\[f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}
\]
类似地，函数 \(z=f(x, y)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 处 对 \(y\) 的偏导数 定义为
\[\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y},
\]
记作
\[\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad z_{y}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}} 或 f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) .
\]
如果函数 \(z=f(x, y)\) 在区域 \(D\) 内每一点 \((x, y)\) 处对 \(x\) 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 \(x, y\) 的函数，它就称为函数 \(z=f(x, y)\) 对自变量 \(x\) 的偏导函数 ，记作
\[\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x}, z_{x} 或 f_{x}(x, y) .
\]
类似地，可以定义函数 \(z=f(x, y)\) 对自变量 \(y\) 的偏导函数 ，记作
\[\frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial y}, z_{y} 或 f_{y}(x, y) .
\]
由偏导函数的概念可知，\(f(x, y)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 处对 \(x\) 的偏导数 \(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 显然就是偏导函数 \(f_{x}(x, y)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 处的函数值；\(f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 就是偏导函数 \(f_{y}(x, y)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 处的函数值．就像一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为 偏导数 ．
至于实际求 \(z=f(x, y)\) 的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看做固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题．求 \(\cfrac{\partial f}{\partial x}\) 时，只要把 \(y\) 暂时看做常量而对 \(x\) 求导数；求 \(\cfrac{\partial f}{\partial y}\) 时，只要把 \(x\) 暂时看做常量而对 \(y\) 求导数．
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数．例如三元函数 \(u=f(x, y, z)\) 在点 \((x, y, z)\)处对 \(x\) 的偏导数定义为
\[f_{x}(x, y, z)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y, z)-f(x, y, z)}{\Delta x}
\]
其中 \((x, y, z)\) 是函数 \(u=f(x, y, z)\) 的定义域的内点．它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题．
我们知道，对一元函数来说，\(\cfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) 可看做函数的微分 \(\mathrm{d} y\) 与自变量的微分 \(\mathrm{d} x\) 之商．而上式表明，偏导数的记号是一个整体记号，不能看做分子与分母之商．
二元函数 \(z=f(x, y)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 的偏导数有下述几何意义．
设 \(M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)\) 为曲 面 \(z= f(x, y)\) 上的一点，过 \(M_{0}\) 作平面 \(y=y_{0}\) ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 \(y=y_{0}\) 上的方程为 \(z=f\left(x, y_{0}\right)\) ，则导数 \(\left.\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f\left(x, y_{0}\right)\right|_{x=x_{0}}\) ，即偏导数 \(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\) ，就是这曲线在点 \(M_{0}\) 处的切线 \(M_{0} T_{x}\) 对 \(x\) 轴的斜率（图9－5）。同样，偏导数 \(f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 的几何意义是曲面被平面 \(x=x_{0}\) 所截得的曲线在点 \(M_{0}\) 处的切线 \(M_{0} T_{y}\) 对 \(y\) 轴的斜率．
我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，那么它在该点必定连续．但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续．这是因为各偏导数存在只能保证点 \(P\) 沿着平行于坐标轴的方向趋于 $ P_{0} $ 时，函数值 \(f(P)\) 趋于 \(f\left(P_{0}\right)\)，但不能保证点 \(P\) 按任何方式趋于 $P_{0} $ 时，函数值 \(f(P)\) 都趋于 \(f\left(P_{0}\right)\) ．例如，函数
\[z=f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\cfrac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\
0, & x^{2}+y^{2}=0
\end{array}\right.
\]
在点 \((0,0)\) 处对 \(x\) 的偏导数为
\[f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 0=0 ;
\]
同样有
\[f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} 0=0
\]
但我们已经知道这函数在点 \((0, 0)\) 并不连续。
二、高阶偏导数
设函数 \(z=f(x, y)\) 在区域 \(D\) 内具有偏导数
\[\cfrac{\partial z}{\partial x}=f_{x}(x, y), \quad \cfrac{\partial z}{\partial y}=f_{y}(x, y),
\]
于是在 \(D\) 内 \(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\) 都是 \(x, y\) 的函数．如果这两个函数的偏导数也存在，那么称它们是函数 \(z=f(x, y)\) 的 二阶偏导数 ．按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：
\[\begin{array}{ll}
\cfrac{\partial}{\partial x}\left(\cfrac{\partial z}{\partial x}\right)=\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=f_{x x}(x, y), & \cfrac{\partial}{\partial y}\left(\cfrac{\partial z}{\partial x}\right)=\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=f_{x y}(x, y) \\
\cfrac{\partial}{\partial x}\left(\cfrac{\partial z}{\partial y}\right)=\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=f_{y x}(x, y), & \cfrac{\partial}{\partial y}\left(\cfrac{\partial z}{\partial y}\right)=\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=f_{y y}(x, y)
\end{array}
\]
其中第二、三两个偏导数称为 混合偏导数 ．同样可得三阶、四阶 \(\cdots \cdots\) 以及 \(n\) 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数 ．
定理 如果函数 \(z=f(x, y)\) 的两个二阶混合偏导数 \(\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}\) 及 \(\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\) 在区域 \(D\) 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
例 7 验证函数 \(z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}\) 满足方程
\[\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 .
\]
证：因为 \(z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\cfrac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)\) ，所以
\[\begin{array}{c}
\cfrac{\partial z}{\partial x}=\cfrac{x}{x^{2}+y^{2}}, \quad \cfrac{\partial z}{\partial y}=\cfrac{y}{x^{2}+y^{2}} \\
\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\cfrac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-x \cdot 2 x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\cfrac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, \quad \cfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\cfrac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-y \cdot 2 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\cfrac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} .
\end{array}
\]
因此
\[\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\cfrac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}+\cfrac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=0
\]
例 8 证明函数 \(u=\cfrac{1}{r}\) 满足方程
\[\cfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\cfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\cfrac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0,
\]
其中 \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) ．
证
\[\begin{array}{l}
\cfrac{\partial u}{\partial x}=-\cfrac{1}{r^{2}} \cfrac{\partial r}{\partial x}=-\cfrac{1}{r^{2}} \cdot \cfrac{x}{r}=-\cfrac{x}{r^{3}}, \\
\cfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\cfrac{1}{r^{3}}+\cfrac{3 x}{r^{4}} \cdot \cfrac{\partial r}{\partial x}=-\cfrac{1}{r^{3}}+\cfrac{3 x^{2}}{r^{5}} .
\end{array}
\]
因为函数关于自变量的对称性，所以
\[\cfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-\cfrac{1}{r^{3}}+\cfrac{3 y^{2}}{r^{5}}, \quad \cfrac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=-\cfrac{1}{r^{3}}+\cfrac{3 z^{2}}{r^{5}} .
\]
因此
\[\cfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\cfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\cfrac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=-\cfrac{3}{r^{3}}+\cfrac{3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{r^{5}}=-\cfrac{3}{r^{3}}+\cfrac{3 r^{2}}{r^{5}}=0 .
\]
例7和例8中的两个方程叫做 拉普拉斯方程（Laplace）方程 。
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