生成函数trick

生成函数trick

因为是很小的trick，所以标题字号也非常小（雾）

本文记录一些常用的推式子的东西，持续更新

牛顿二项式定理

\[{(1+x)^m}=\sum_{i\geq 0} {m\choose i}x^i \]

注意m是实数。而当m为负数，前面是\((1-x)=(1+(-x))\)时有个非常好的性质：

\[ $$\begin{aligned} (1-x)^{-n} &=\sum_{i \geq 0}\left(\begin{array}{c} -n \\ i \end{array}\right)(-x)^{i} \\ &=\sum_{i\geq 0}\frac{-n^{\underline{i}}}{i!} (-1)^i x^i\\ &=\sum_{i\geq 0}\frac{n^{\overline{i}}}{i!}x^i \\&=\sum_{i\geq 0}\frac{(n+i-1)^{\underline{i}}}{i!}x^i \\&=\sum_{i \geq 0}\left(\begin{array}{c} n-1+i \\ i \end{array}\right) x^{i} \end{aligned}$$ \]

组合数恒等式：顶变

有个用了好多次的恒等式，而且大眼看不容易看出来：

\[\sum_{i=0}^n {i\choose m}={n+1\choose m+1} \]

可以理解为枚举最后一个选的位置，还剩下\(m\)个要选，一共\(m+1\)个

各种变形：

\[\sum_{i=0}^n {m+i-1\choose i}={m+n\choose m}={m+n\choose n} \]

证明（也不算证明，都是一个式子：

\[\sum_{i=0}^n {m+i-1\choose i}= \sum_{i=0}^n {m+i-1\choose m-1} =\sum_{i=0}^{m-1+n} {i-1\choose m-1}={m+n\choose m} \]

斯特林数拆下降幂

为了凑数写上了... 反正也挺常用的

一看到\(m^k\)，就要想到

\[m^{k}=\sum_{i=0}^{k}\left\{ $$\begin{array}{l} k \\ i \end{array}$$ \right\} i!{m\choose i}=\sum_{i=0}^{k}\left\{ $$\begin{array}{l} k \\ i \end{array}$$ \right\} m^{\underline{i}} \]

可以用组合意义证明，具体看第二类斯特林数的学习笔记。

而这个东西可以做很多事情，大部分是直接带入题目要求的式子（比如求自然数幂和），也有用组合意义，枚举i，转化成计算有多少个集合包含选的方案。

小等式

\[{n\choose k}{k\choose i}={n\choose i}{n-i\choose k-i} \]

变形：

\[{n\choose i}{n\choose k}={n\choose i+k}{i+k\choose i} \]

很多时候就是这些小式子导致推不出来...