随笔分类 - 一些数学题（IMO、CMO、国内外数学竞赛题、趣题等）
摘要：憨豆特工在一个 2024行2023 列的方格表上做游戏。方格表中恰有 2022 个方格各藏有一个坏人，初始时,憨豆不知道坏人的位置,但是他知道除了第一行和最后一行之外，每行恰有一个坏人，且每列至多有一个坏人，憨豆想从第一行移动到最后一行，并进行若干轮尝试，在每一轮尝试中，憨豆可以在第一行中任意选取一
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摘要：[55]（题目分数） 在一个200*200的网格表的每个单元格上放置一辆汽车，它面向四个基本方向之一。在一步操作中，选择一辆前面没有汽车挡住的汽车，并将其向前滑动一个单元格。如果一步操作会导致汽车离开网格，则将该汽车移除。对初始放置方法的要求是，一定存在一系列操作，最终可以将所有汽车从网格中移除。在
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摘要：题目：n个点在一个圆中，点出现在圆中的位置是随机的，求这些点出现在同一个半圆内的概率。 这道题正确答案是 n/2^(n-1)。 这道题我做错了，我得到的答案是(1/2)^(n-2)，我得到的这个错解的过程还是挺有意思的，下面是过程： 定义边缘点：过边缘点和圆心的直线将圆分成两个半圆，其中至少一个半圆
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摘要：4.设n为正整数.给定一个2nx2n的网格表，用2n种颜色给每个单元格染色，使得每个颜色恰好染了两个单元格.现在嘉娜在其中一个单元格内.在另外某个单元格内有一块巧克力.嘉娜想要移动至这块有巧克力的单元格内.她有两种移动方式:移动至与当前单元格相邻(有公共边)的单元格。跳跃至与当前单元格颜色相同的单元
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摘要：已知n，k为正整数，n>k. 有一块正方形的土地被划分为了 n*n个小块, 且每个小块都是同样大小的正方形. 目前需要k个拖拉机来犁地. 每个拖拉机都从左下角出发, 向右上角移动. 拖拉机的移动方式为只能向右或向上移动到与其当前单元格相邻的单元格.(这里的相邻指有公共边). 求未被犁过的单元格个数的
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摘要：给定一个n*n的方格表, 其中有部分方格染黑色，剩余方格染白色 (可以不存在白格).对于甲每次操作, 可以选取一恰有一个黑格的行, 并将该黑格所在列上的所有方格染成红色;对于乙每次操作，可以选择一恰有一个黑格的列, 将该黑格所在行上的所有方格染成红色. 证明：若甲可以通过独立操作将方格表完全染为红色
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摘要：甲在平面内画一个正2021边形，乙给每个顶点标上一个实数，使得任意相邻两顶点所标的数之差不超过1。接着，若非相邻两顶点所标的数之差不超过1，则甲画一条连接该两点的对角线，按照这种方式，甲画出所有符合条件的对角线，求所画对角线条数d的最小值。 问题可以等价为：在一个二维坐标系里，对于X=1,2,3··
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摘要：给定1个由0,1组成的字符串S,对任意正整数k.设Vk为长度为k的字符串中，S出现的次数的最大值.已知对给定字符串S.存在正整数n,使得Vn< Vn+1<Vn+2.求证:S中所有字符相同. 易知S出现的次数一定时，最小的长度k由以下方式获得：先把S放前边，后边的每个S的位置都必须尽可能的“往前提”，
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摘要：给定整数m,n≥2.将-一个m行n列的方格表的每个格子染上红、蓝两色之一，使下述条件成立:对于同一行的两个格子，若它们均被染了红色，则它们所属的两列中，一列的所有格子都被染了红色，另一列中有格子被染了蓝色.求不同的染色方式的数目. 如果存在同一行有三个红色格子，那么至少有两个红格子所在列全是红格子，
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摘要：今有n个人排成一个横队，从左到右按1,2,···,n 报数，凡报奇数者退出队伍，剩下的人再从右向左按1,2,···.重新报数，凡报奇数者退出队伍，然后剩下的人又从左到右重新报数，如此往返进行，使得最后队伍中只剩下一人。 f(n) 表示最后剩下的这个人在第一次报数时的号码。求f(n)的表达式，并给出f
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摘要：平面上有2021个点,其中一些点是黑点,其余点都是绿点。已知对每个黑点而言都恰有两个绿点到这个黑点的距离为2021，请问平面上最少有多少个绿点? 答：先考虑n个绿点，最多能找到多少黑点可以满足要求。 对于n个绿点，以绿点为圆心，2021为半径作圆，令这n个圆两两相交且每两个圆之间有两个交点且没有三个
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摘要：在魔法世界中一共有6只老鹰，17条蛇和55只老鼠．老鹰可以吃蛇或老鼠，但不能吃别的老鹰。蛇只能吃老鼠，不能吃老鹰或者别的蛇。老鼠只能被吃，当老鹰吃掉一条蛇的时候它就会变成一只老鼠，但当老鹰吃掉一只老鼠的时候它就会变成一条蛇,而蛇吃掉一只老鼠的时候会变成一只老鹰。在若干时间后魔法世界没有任何动物可以吃
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摘要：在一张2021× 2021的表格中,初始时所有格子都是白色的.甲挑选了两个格子涂黑,接下来每一步我们都需要将所有至少与一个黑格子有公共边的格子找出来并同时涂黑．已知甲挑选的两个黑格子满足我们可以通过最少的步骤将所有格子都涂黑，请问我们一共进行了多少步涂黑的操作? 经分析可知，两个黑格子导致的染色可看
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摘要：在太空中有n个半径相等的球形星球，如果一个星球表面的某个区域不能被其他任何一个星球所看见，我们就称这个区域是“隐秘的”。证明：所有这些隐秘的区域的面积之和等于一个星球的表面积。 更新注：忘记太空是三维的了 ，我证明的是平面情况下的··，可以用类比的方法由平面推广到三维，但是三维的情况比较复杂，我就不
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摘要：9.3.如图1所示,在4×5方格表的30个结点上各有一个灯泡.开始时它们都未亮着.每一步允许任作一条不接触灯泡(将灯泡视为点)的直线,该直线的一侧的灯泡全都未亮,并点亮该侧的所有灯泡.每一步至少要求点亮一个灯泡.能否刚好用四步点亮所有灯泡? 答：不能。一条直线会将方格表分成两部分，灯泡全都未亮的一侧
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摘要：9.2.8×8方格表中的每个方格都被染为两种颜色之一.证明,可从该方格表中剪下两个没有公共方格的2×2正方形，它们的染色情况完全相同(旋转后相同的不算相同). 证明：反证法，假设不可以。 2×2染色共有16种情况，8×8中共可剪下16个2*2的正方形，假设这16个里不存在染色情况相同的。对黄色1部分
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摘要：1.有一个由2021个单元格组成的几何图形,满足如下条件:每个单元格至少与另一个单元格有公共边(我们称有公共边的单元格为相邻的);从任意一个单元格出发,可以经过若干个相邻的单元格到达任意另个单元格;每个单元格被染成白色或黑色,且任意两个相邻的单元格颜色不同.求黑色单元格个数的最大值. 答：1516.
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摘要：在一个n*n的网格表中，可以标记n个单元格，使得任意一个包含了N个单元格的矩形中，都有至少一个单元格被标记，求n的所有可能的值。 答：所有可能的值为1、2、3。 由题意知所有的行、列都有至少一个单元格，又因为一共标记了n个单元格，则这n个单元格必然在对角线上。当n>=4时，选择左上/下角的n/2*n
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摘要：杰克将n张分别写有1,2,.. . , n的卡片按任意顺序排成—列放在桌面上.派将每张卡片染成红色,黄色，蓝色之一.随后,杰克从1开始,按卡片上的数字从小到大的顺序依次取走这些卡片.求证:对任意放置方法,派都可以选择合适的染色方式,使得在杰克取走卡片的过程中,任意时刻,任意两张同色的卡片之间必有至少
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摘要：试题来源：http://olimpiadi.dm.unibo.it/wp-content/uploads/2020/09/Cesenatico_20.pdf 在一个8×8的网格表中，每个单元格中都有一个骑士或一个骗子。骑士只会说真话，骗子只会说假话。已知每个单元格中的人都说“我所在的列中的骗子个数严
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