2022中欧数学奥林匹克团体赛 第四题

4.设n为正整数.给定一个2nx2n的网格表，用2n种颜色给每个单元格染色，使得每个颜色恰好染了两个单元格.现在嘉娜在其中一个单元格内.在另外某个单元格内有一块巧克力.嘉娜想要移动至这块有巧克力的单元格内.她有两种移动方式:
移动至与当前单元格相邻(有公共边)的单元格。
跳跃至与当前单元格颜色相同的单元格.

嘉娜第一步必须选择跳跃，此后必须轮流使用两种移动方式,那么，嘉娜是否可以保证，无论初始条件为何,都一定可以移动至有巧克力的单元格内?

 

 

可以。

证明：本题目等价为 对于任意初始位置，总可以到达网格中的任意位置。

对于任意初始位置，假设每个可达位置的“身份”只有一个（不 既是A又是B）则A和B的数目应该相同，而由于B相邻的全是A，A附近不必是B，所以B必然少于A，矛盾，假设不成立，即对于任意初始位置，存在一个可达位置，其既是A又是B。

假设本题不可以。即存在某一位置，无论其如何移动，总有其到不了的位置。则可达位置则必然存在于不可达位置相邻的可达位置，如图所示。其中方块代表可达位置，圆代表不可达位置。令经跳跃到的位置为B，移动到的位置为A（初始位置为A）。则n必然为A（若n为B则2可达）。

易知以n为起点的可达位置是以1为起点的可达位置的子集。所以以n为起点也到不了2。由于以n起点，存在一个可达位置（令其为C）既是A又是B（已证）。易知可通过C“逆向”到达n（将n到c的路径转换为c到n），且该“逆向”路径中 n为B。由于2与n相邻，所以2也是可达的。矛盾。  所以无论初始条件为何,都一定可以移动至有巧克力的单元格内。

证毕。