随笔分类 - 一些数学题（IMO、CMO、国内外数学竞赛题、趣题等）
摘要：试题来源：https://artofproblemsolving.com/community/c1332626 给定正整数k．求n的最小值(1<k<n)，使得可以对一个n×n的网格表进行染色，令其每行和每列中都恰有k个黑色单元格.并给出一个示例。 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
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摘要：证明地球上两点的最短距离为通过两点大圆的劣弧。 · · · · · · · · · · · 本题的结论是显而易见的，证明方法如下： 将地球的球面想象成是由无数个点组成的，在一个很小的局部部分可以认为是平面，下图为某一个局部，其中每一个点都可看成是球面的最小组成单位： 因为这个局部无限小，所以可以认为
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摘要：班里有30个男同学和30个女同学，有一次男女分成前后两排，发现每个男同学都比前面的女同学高。 现在各排同学按照从左到右，从高到低的顺序调整，会出现某个男同学不高于前面的女同学吗？· · · · · · · · · · · · · · · 不会。经分析易知，最高的男生比最高的女生高，最矮的男生也比最矮
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摘要：题目： 1994个姑娘围着一张圆桌，玩一副n张牌的游戏。开始时，一个姑娘手中握有所有牌.如果至少一个姑娘至少握有两张牌时，那么这些姑娘中的一个必须分给她左、右两个姑娘各一张牌。当且仅当每个姑娘至多握有一张牌时，这游戏就结束了。 问题：(1)如果n≥1994，求证:这游戏不能结束;(2)如果n<199
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摘要：设n≥2为一个正整数，考虑由n2个单位正方格构成的n*n的正方形棋盘，一种放置n个棋子“车”的方案被称为和平的，如果每一行每一列上正好有一个“车”．求最大的正整数k，使得对于任何一种和平放置n个棋子“车"的方案，都存在一个k×k的棋盘使得它的单位正方格中都没有“车”。 经分析易知，若某一种放置方案是
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摘要：给定一个n×n的棋盘，n是给定的偶数。这个棋盘被分成n2个小方格。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说它们是相邻的。N个棋盘上的小方格按某种方式被标记，使得棋盘上的每个方格（标记的和未标记的）至少与一个被标记的方格相邻。找出N的最小的可能值。 N的最小值=min(n,m)/4*（max(
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摘要：我们将一个99*99的方格表中的某些方格用特定的五种颜色之一染色，使得每种颜色都用上，且每种颜色所染的方格数相同，在每一行和每一列中，不存在染成不同颜色的方格，求至多有多少个方格被染色？ 对任意一种满足题意的染色方式，都可以通过交换行或列的方式，将同一种颜色的方格“聚集”到一起，如下图所示， ABC
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摘要：爱丽丝在亚的斯亚贝巴(埃塞俄比亚首都），过了新年之后，得意地说：除了某个半球之外，她过新年的地方包括地球上任意一个可能的半球。那么，爱丽丝至少去过几个地方过新年?注：我们将爱丽丝去过的地方视为地球上的一个点。半球的边界不包括在半球内。 本题答案是4。 左图为地球。 假设红色半球是爱丽丝未到过的半球，
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摘要：在白色6*6方格表中染红一些方格，使得每行每列都恰好有两个红格，求不同的染法数目。 如果染色方案A得到的方格表可以通过交换行或列得到染色方案B，则称AB方案是等价的。 经分析可知，一共有三种”基本的染色方案“，这三种染色方案互不等价，并且所有的染色方案都可通过这三种基本方案交换行或列得到。 基本方案
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摘要：一个4X7的方格形棋盘，要给它的每个方格涂色：颜色或黑或白。试证明:对于任何一种涂色方式，总有一个矩形，其顶点所在的四格同色。 A B 不妨让图A为所述棋盘，从上到下为第1 - 4 行，从左到右为第1 - 7列。易知：任意一行至少有4个方格的颜色相同；至少存在两行满足：这两行占多数的颜色相同。 不妨
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摘要：从等差数列1 4 7 10 ··· 100中任取20个不同数，求证其中存在两个不同数，其和为104 这个数列一共有34个元素。满足和为104的数对为4 100、7 97、10 94、···· 49 55，共16对，只要选出的数中包含这16对中的其中1对，那么就满足题意了。而因为选了20个数，20-2
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摘要：一个集合由小于100的26个奇数组成，且其中没有任何一对数的和为102，求这样的集合共有多少个 小于100的奇数为1 3 5 ···· 49 51 53 ···· 97 99。只有3 99、5 97、····49 53这24组数之和是102。所以要想没有任何一对数为102，这24对数中每对最多只能选
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摘要：大厅中聚集着100位客人，其中任何一个人至少认识67个人，试证明这些客人中一定可找到四人，他们之中任何两人彼此认识， 随便挑一个人出来，将其命名为A，任选其认识的一个人，将其命名为B，因为任何一个人至少认识67个人，所以肯定有34个人是AB共同认识的（67-1-（100-1-67)=34）,。从这3
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摘要：一个棋盘放棋子的问题 从8n*8n（n是正整数）方格棋盘上选出16n格，使每行每列含有其中的两格，证明：可以把16n个格子，（8n白8n黑）放置在所选的方格上，使每行每列都恰好有一个白的和一个黑的棋子。 解答： 如果每行每列都恰好有一个白的和一个黑的棋子，易知交换某两行/列后每行每列还是恰有一个白的
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摘要：安娜烤了十五个馅饼,其中有七个卷心菜馅饼,七个肉馅饼,一个樱桃馅饼，她把馅饼按上述顺序在圆形盘子周围均匀地摆成一圈，然后将盘子放入微波炉里烘焙，她不知道盘子在微波炉里是如何旋转的，这些馅饼在外观上一模一样,请问安娜有没有一种策略，无论盘子如何旋转，她都能通过不多于三次尝试确定樱桃馅饼的位置 不妨令1
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摘要：在17x17的方格表中，把n个小方格（1*1的正方形）染上黑色.此后每一次做以下三种操作之一: 1）若某行中至少有6个小方格染上黑色，则可将该行的所有小方格染上黑色. 2 ) 若某列中至少有6个小方格染上黑色，则可将该列的所有小方格染上黑色. 3）若某条对角线(有两个对角线)上至少有6个小方格染上黑
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摘要：绿变色龙总说真话，棕变色龙会说谎，然后立刻变绿，一家公司有2019条变色龙（绿色和棕色），每条依次回答“有多少条现在是绿的”答案时1到2019的某个排列，一开始最多有多少条绿变色龙？ 这道题也非常简单，因为答案时1到2019的某个排列，所以不存在两个变色龙的答案一样。假设有两条绿变色龙相邻，那么这俩
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摘要：桌上一开始有10堆糖果，分别有1 2··· ··10块。一个小孩想要重新分配糖果，第奇数分钟，他选一堆分成两堆，每队至少有一块糖，第偶数分钟，他把两堆合为一堆。能否在某时刻桌上各堆糖果数目相同。 由于是9年级的题，所以题目难度不大。 糖果总数为55块，假如最后10堆，那么每堆5.5块，不可以，所以最
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摘要：求同时满足以下条件的集合个数的最大值 1）每个集合由四个元素组成 2）任何两个不同的集合恰好有两个共同的元素 3）没有两个元素同时属于所有的集合 2020/3/28更新：本题解法有误，并且还是一个很明显的错误，但是懒得删和改了····· 先证明在满足上述条件时 max (两个元素同时属于的集合数)
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摘要：已知n是正整数，把n*n的正方形分成n方个单位正方形，将111枚硬币放入这些单位正方形中使得任意两个相邻（有一条公共边）的单位正方形中数量之差的绝对值恰好为1 ( 单位正方形内可以没硬币) ，求n的最大值。 · 考虑一个2*2的正方形，因为2 3都与1相差1或-1，所以2 3硬币之和为偶数，同理1
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