2021年丝绸之路数学奥林匹克第一题

给定1个由0,1组成的字符串S,对任意正整数k.设Vk为长度为k的字符串中，S出现的次数的最大值.已知对给定字符串S.存在正整数n,使得Vn< Vn+1<Vn+2.求证:S中所有字符相同.

易知S出现的次数一定时，最小的长度k由以下方式获得：先把S放前边，后边的每个S的位置都必须尽可能的“往前提”，与上个S尽可能多的重叠。（可用反证法证明这样得到的就是最小的长度）。因为 V_n< V_n+1，所以V_n+1对应的字符串的长度就是S出现次数为Vn+1时最小的长度k。如果S中不是所有字符相同，则相邻的两个S的距离最少为2（可用反证法证明）。所以V_n+1+1时最小的长度k - V_n+1时最小的长度k>=2，与已知矛盾，所以S所有字符相同。