第十九届中国东南地区数学奥林匹克 高二年级 第一天第三题

今有n个人排成一个横队，从左到右按1,2,···,n 报数，凡报奇数者退出队伍，剩下的人再从右向左按1,2,···.重新报数，凡报奇数者退出队伍，然后剩下的人又从左到右重新报数，如此往返进行，使得最后队伍中只剩下一人。 f(n) 表示最后剩下的这个人在第一次报数时的号码。求f(n)的表达式，并给出f(2022) 的值。

 

f(n)=不大于n的最大的2的整数次幂。

先证明：任何一次操作后，如果队伍里人数>=2，那么队伍里的前两人的初始号码肯定为 2^x, 2^x+1的形式。

易知队伍里的第一个人在这次操作后肯定会退出队伍。令某一次操作后，队伍里的前两人初始的号码为A、B，则在上一次操作时，A前边、A B中间都去掉了一个人。上上次操作A前边、A B中间都去掉了两个人。继续推演可以发现每次操作A前边、A B中间都去掉的人数是相同的，就这样一直操作，直到初始时的n个人。所以B=2A。因为在第一次操作后A=2=2¹  所以得证。

所以如果进行了x次操作，那么在每次操作后，队伍里第一个人的编号分别为 2、 2² 、2³ 、2⁴ ··· 2^x  令不大于n的最大的2的整数次幂为2^C，即2^C+1>n，2^C<=n，所以至少可以进行C次操作（因为如果队伍里有2^C人，那么可以进行C次操作，所以大于2^C人可以进行操作的次数肯定>=C次）。所以第C次操作后，队伍里第一个人的编号为2^C，假如队伍里人数多于1个，那么第二个人编号为2^C+1>n，这是不可能的，所以队伍里只有一个人，编号为2^C。所以 f(n) 就是2^C

 

 

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更新：题目看错了，把 剩下的人再从右向左 看成 剩下的人再从左向右了。所以解答也错了，懒得改了