随笔分类 -  一些数学题（IMO、CMO、国内外数学竞赛题、趣题等）

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数学竞赛 组合类问题（2）
摘要：平面上给定25个点，已知其中任何三点中总有两点的距离小于1，证明：可以画一个半径为1的圆覆盖其中至少13个点。 证明：本题也非常简单。首先考虑：其中任何三点中，三个点的距离都小于1 从中任选三点ABC，1 2分别是以A B为圆心半径=1的圆，易知ABC都在1 2圆的重叠部分。考虑其他22个点与AB 阅读全文
posted @ 2020-03-22 17:22 刘通1997 阅读(424) 评论(0) 推荐(0)
数学竞赛 组合类问题（1）
摘要：在单位正方形周界上的两个点连接一条直线，如果这条直线把正方形分成面积相等的两部分，试证该直线长度不小于1 证明：该题非常简单。先证明这条直线必然过正方形中心点O： 假设1线不过中心点O且分成面积相等的两部分，过O作平行于1的直线2，易知2将正方形分成S=的两部分，所以1肯定没把正方形分成S=的两部分 阅读全文
posted @ 2020-03-22 16:52 刘通1997 阅读(425) 评论(0) 推荐(0)
2001年全国高中数学联合竞赛加试试题 第三题
摘要：先讨论 n<m。 首先明白一个事实：正方形周长之和=2m+2n+2*矩形内线段长度。正方形边长之和=正方形周长 / 4。因为矩形内部的线段的两侧肯定是两个正方形，所以计算周长时要算两次。 本解答是先求得矩形内线段长度min，然后得到边长之和的min的。 另一个事实：如果矩形内部最大的正方形的边长小于 阅读全文
posted @ 2020-03-21 22:13 刘通1997 阅读(408) 评论(0) 推荐(0)
白俄罗斯数学奥林匹克组合题
摘要：在城市中心有一个由1*1的方砖铺成的 n*m 的矩形广场。为了照亮整个广场，需要安装一些恰有一个照明灯的灯柱。灯柱只能安装在方砖的角上，包括广场边界方砖的角上。灯柱上的照明灯恰只能照亮这个角所临的方砖。求最少安装多少个灯柱，使得即便有一个照明灯损坏也能照亮整个广场。 可以想象一个n*m的方格，方格里 阅读全文
posted @ 2020-03-20 00:55 刘通1997 阅读(457) 评论(0) 推荐(0)
一个有理数集上的实数集函数
摘要：一个定义在有理数集上的实数函数 f，对一切有理数x和y，都有 f（x+y）= f（x）+ f（y）。 证明：对有理数x有 f（x）= kx，其中k为实数。 令n为大于0的正整数，则 f（nx）= f（n-1 x）+f（x） f（n-1 x）= f（n-2 x）+f（x） ············ f 阅读全文
posted @ 2019-10-16 11:55 刘通1997 阅读(310) 评论(0) 推荐(0)
第60届IMO 第5题
摘要：题目 巴斯银行发行的硬币在一面上铸有H,在另一面上铸有T,哈利有枚这样的硬币并将这些硬币从左至 右排成一行,他反复地进行如下操作:如果恰有k(>0)枚硬币H面朝上,则他将从左至右的第k枚硬币 翻转;如果所有硬币都是T面朝上则停止操作,例如:当n=3,并且初始状态是THT,则操作过程为THT→HHT→ 阅读全文
posted @ 2019-08-19 23:16 刘通1997 阅读(460) 评论(0) 推荐(0)
第31届IMO 第2题
摘要：题目 设n>=3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。 试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。 解答 将问题转化为：一个圆上 阅读全文
posted @ 2019-08-19 15:52 刘通1997 阅读(286) 评论(0) 推荐(0)

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