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摘要： 可持久化数据结构 首先需要知道，何谓可持久化？具体而言，就是对每次操作保留一个历史版本，同时可以基于其中一个历史版本进行操作，且复杂度在可接受范围内。 显然不能每次都拷贝一遍，但是利用一些性质，一些常见的数据结构都是在同样的复杂度下做到可持久化的。 可持久化线段树（主席树） 其实主席树不完全等于可持 阅读全文

摘要： 拉格朗日插值 插值 什么是插值？插值是一种通过已知的、离散的数据点推算一定范围内的新数据点的方法。 插值的一般形式如下： 已知 \(n\) 个点 \(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\dots,P_n(x_n,y_n)\)，求 \(n-1\) 次多项式 \(f(x)\) 满足 \ 阅读全文

摘要： 杜教筛 积性函数 定义 定义在所有正整数上的函数称为算术函数（或数论函数）。 若算术函数 \(f\) 满足对于任意两个互质的正整数 \(p\) 和 \(q\) 均有 \(f(pq)=f(p)f(q)\)，则称该函数为积性函数。 若算术函数 \(f\) 满足对于任意两个正整数 \(p\) 和 \(q\ 阅读全文

摘要： 莫比乌斯反演 整除分块（数论分块） 这是莫比乌斯反演的前置知识。 整除分块用于在 \(O(\sqrt n)\) 的时间复杂度内求解以下和式： \[\sum_{i=1}^nf(i)\left\lfloor\frac ni\right\rfloor \]其中 \(f(i)\) 是一个函数。如果暴力求解， 阅读全文

摘要： 后缀自动机 SAM 约定：字符串下标从 \(1\) 开始。 后缀自动机是一个强有力的数据结构，能在线性时间内解决以下这些关于字符串的问题。 在一个字符串中搜索另一个字符串的所有出现位置。 计算给定的字符串中有多少个不同的子串。 容易发现，这些问题都和 “子串” 有关。事实上，后缀自动机能解决的问题基 阅读全文

摘要： P3259 [JLOI2014] 路径规划 如此分层图好题做的人却不多，不知为何。 红绿灯的期望通过时间 省流：\(\dfrac{a^2}{2(a+b)}\)。具体计算过程如下： 首先标签带一个 数学 的原因就是在于红绿灯期望通过时间的计算。由于我们可以在任意时刻进入这个红绿灯，由于一个红绿灯的周期 阅读全文

摘要： P4321 随机漫游 \(n\le18\) 的数据范围显然不是白给的，考虑设计状态中包含一个二进制数 \(S\) 表示走过了哪些关键点。状态设计就是 \(f_{S,u}\)，表示已经走过了点集为 \(S\) 的点，现在在 \(u\)，走到 \(n\) 的期望步数。 期望 DP 逆推，于是有： \[f 阅读全文

摘要： P8967 追寻 | Pursuit of Dream 很久没做过这种酸爽的推式子题了。 首先可以确定的是，看似每个点的坐标的每个维度都是 \(10^7\) 级别的，实际上有用的点只有 \(k\) 个，剩下点之间的期望都是相同并且可计算的。 对于期望 DP，一般是逆推的方法。考虑设一个 \(f_i\ 阅读全文

摘要： P2150 [NOI2015] 寿司晚宴 首先容易想到，一种方案是 “和谐的” 当且仅当这两个人品尝的寿司集合中，不存在包含相同质因子的数。 考虑把所有质因子的存在情况压成一个二进制数，然后从 \(2\) 到 \(n\) 枚举每个数给谁，然后统计答案。具体实现上，可以设计三个 DP 数组：\(\ma 阅读全文

摘要： [ARC177D] Earthquakes 单调栈好题。 题面不短，给了我们很多限制。一定要理清思路，挨个来解决这些限制。 首先可以确定的是，先把所有电线杆按照位置而不是倒塌时间来排序。现在我们定义第 \(i\) 个电线杆是从左往右数第 \(i\) 个电线杆，每个电线杆的倒塌时间是 \(x_i\)。 阅读全文