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摘要： LCT LCT 用于解决动态树问题，可以理解为在正常的树剖能解决的问题的基础上增加了一项操作：断开并连接一些边，并强制在线。 我们来看 LCT 是怎么解决这类问题的。 实链剖分 树剖中我们采用的是重链剖分，将树剖成一条条链，就可以把对树上路径的查询转化为不超过 \(\log n\) 条链的查询，从而 阅读全文

摘要： 替罪羊树 平衡树的一种。其特点是采用 “摧毁—重建” 的方法维护 BST 的平衡。 具体而言，当我们发现树上有一棵子树不平衡了，就摧毁它，然后重新建一棵平衡的子树。 不平衡率 我们定义不平衡率 \(\alpha\in[0.5,1]\) 为：一棵以 \(u\) 为根的子树，若其左子树或右子树占比大于 阅读全文

摘要： 阅读全文

摘要： 线性基 定义 竞赛中一般用到的都是异或空间线性基。线性基可以看作针对一个数集 \(S\) 而产生的新集合，满足线性基中的任意数能产生的异或和的种类数和原集合能产生的异或和的种类数相同，且线性基的大小最小。 由此可以得出线性基中的几条性质（记线性基为 \(P\)）： 等价性。在原集合 \(S\) 上进 阅读全文

摘要： Burnside 引理和 Polya 定理 群论基础 若集合 \(S\ne\varnothing\) 和 \(S\) 上二元运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \(G(S,\cdot)\) 满足以下性质： 封闭性：\(\forall a,b\in S\)，\(a\cdot b\in S\)； 阅读全文

摘要： K-D Tree 简介 K-D Tree 是一种能够维护多维数据的二叉树。一般来说，竞赛中用到的都是 2-D Tree，即维护二维数据，比如平面上的点的数据。 K-D Tree 能解决的问题用很多其他的数据结构也能解决，比如 CDQ 分治、树套树，抑或是一些计算几何知识。因为 K-D Tree 在 阅读全文

摘要： 线段树综合 线段树 Pro Max。 前置知识：权值线段树，动态开点线段树。这两个东西是相辅相成的，到现在应该很熟练。其中权值线段树可以维护数字的出现次数相关信息，动态开点线段树则是解决值域过大带来的问题，或者是要开多个线段树之用。 线段树分裂 前置知识：线段树合并。那么有合并就有分裂，线段树分裂一 阅读全文

摘要： 奇技淫巧。 阅读全文

摘要： 可持久化数据结构 首先需要知道，何谓可持久化？具体而言，就是对每次操作保留一个历史版本，同时可以基于其中一个历史版本进行操作，且复杂度在可接受范围内。 显然不能每次都拷贝一遍，但是利用一些性质，一些常见的数据结构都是在同样的复杂度下做到可持久化的。 可持久化线段树（主席树） 其实主席树不完全等于可持 阅读全文

摘要： 拉格朗日插值 插值 什么是插值？插值是一种通过已知的、离散的数据点推算一定范围内的新数据点的方法。 插值的一般形式如下： 已知 \(n\) 个点 \(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\dots,P_n(x_n,y_n)\)，求 \(n-1\) 次多项式 \(f(x)\) 满足 \ 阅读全文