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封闭形式 \[ {1,1,1,1,...}\to F(x) \] \[ F(x)x+1=F(x) \] \[ F(x)=\frac{1}{1-x} \] 例题 \(a=<1,2,3,...>\) \[ F(x)=\sum_{n\geq 0} (n+1)x^n \] 两边求导 \(a_n=\binom 阅读全文
posted @ 2022-06-04 11:24
kzos
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OI-Wiki （具体证明等请看 OIwiki） 描述 给定多项式 \(g(x),f(x)\) 满足： \[ g(f(x))\equiv 0\pmod {x^n} \] 求出模 \(x^n\) 意义下的 \(f(x)\) 公式表现形式 假设已经求出了模 \(x^{\lfloor \frac{n}{2 阅读全文
posted @ 2022-06-04 11:23
kzos
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设 \(A(x)=\exp(B(x)),B(x)=\ln (A(x))\) 对于两边求导 \[ B'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)} \] \[ xB'(x)A(x)=xA'(x) \] \[ nA_n=\sum_{i=1}^n iB_iA_{n-i} \] \[ A(n)=\frac{ 阅读全文
posted @ 2022-06-04 11:23
kzos
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Oi-Wiki 定义 \(f^{R}(x)\) 为将多项式系数颠倒后的多项式 \(f^{R}(x)=x^{n}f(\frac{1}{x})\) 多项式的除法定义见：LG P4512 【模板】多项式除法 \[ x^nf(x)=x^{n-m}Q(x)x^mg(x)+x^{n-m+1}x^{m-1}R(x 阅读全文
posted @ 2022-06-04 11:17
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简介 大概是解决形如要求 \(c_i=\sum_{j\bigoplus k=i} A_jB_k\) 这个符号可以是 或，与，异或 整个的流程和 FFT 很像，先正变换成 \(FWT(A),FWT(B)\) ，然后将两者相乘，最后再逆变换 具体的证明和定义和一些繁杂的过程这里就不说了，直接上结论 因为 阅读全文
posted @ 2022-06-04 11:16
kzos
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质数模数 NTT 普通 FFT 有一个很大缺点就是精度和随带的速度 因为一直是在复数域，大量的 double 运算，精度的损失太大了，所以出现了 NTT （快速数论变换） NTT 的思想和 FFT 的思想是一样的，只是将原根换成了一个替代品$\to$关于模数的原根 倒数的地方就是原根关于模数的逆元 阅读全文
posted @ 2022-06-04 11:15
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FFT 流程 以 P1919 【模板】A*B Problem 升级版（FFT 快速傅里叶变换） 为例 一个数字可以看成 \(a_i\times 10^i\) ，那么把两个数字转成多项式的形式，求最后每一项的系数 我们知道一个多项式可以通过 \(n\) 个系数，或者 \(n+1\) 个点值来确定，那么 阅读全文
posted @ 2022-06-04 11:10
kzos
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第二类斯特林数 记为 $\begin{Bmatrix} n\k\end{Bmatrix}$，或者 $S(n,k)$ 表示将 $n$ 个两两不相同的元素分成若干的非空集合的方案数 递推式 $$ S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) $$ $$ S(n,0)=[n=0] $$ 通项公式 阅读全文
posted @ 2022-06-04 10:33
kzos
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原文章 zeta 变换 \[ f\zeta(n)=\sum_{d|n}f(d) \] 其实可以将 zeta 变换看成一个对于质因子的幂次的高位前缀和 高位前缀和可以通过容斥转换成单点值，我们对于二维前缀和找找规律就可以发现 \(\mu\) 函数的一个直观含义就是，如果每个因子的个数都为 0 ，那么值 阅读全文
posted @ 2022-06-04 10:32
kzos
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定义 \[ \zeta(x)= \begin{cases} \frac{1}{p} &x 为有理数 \frac{p}{q} ,p\perp q ,p\in N^+,q\in Z\\ 1 &x=0\\ 0 &x为无理数 \end{cases} \] 之所以定义 \(\zeta(0)=1\) ，这样能使 阅读全文
posted @ 2022-06-04 10:27
kzos
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