OGF

封闭形式

\[{1,1,1,1,...}\to F(x) \]

\[F(x)x+1=F(x) \]

\[F(x)=\frac{1}{1-x} \]

例题

\(a=<1,2,3,...>\)

\[F(x)=\sum_{n\geq 0} (n+1)x^n \]

• 两边求导

\(a_n=\binom{m}{n}\space m\) 为常数

• 二项式定理：\(F(x)=\sum_{n \ge0} \binom{m}{n}x^n=(1+x)^m\)

\(a_n=\binom{m+n}{n} \space m\) 是常数

• \(F(x)=\sum_{n\ge0}\binom{m+n}{n}x^n=\frac{1}{(1-x)^{m+1}}\)
• 原理是神奇的数学归纳法

斐波那契数列的封闭形式

\[F(x)=\frac{x}{1-x-x^2} \]

展开（待定系数）

\[\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx}=\frac{x}{1-x-x^2} \]

• 最后解出 \(A,B,a,b\) 就可以了

• 对于任意多项式 \(P(x),Q(x)\) ，生成函数 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的展开式都可以这么求

• 往往先求出 \(Q\) 的根，把分母表示成 \(\Pi (1-p_ix)^{d_i}\) 的形式，然后再求分子

• 当分母有重根的时候，每多一个重根就要多一个分式，比如

\[G(X)=\frac{1}{(1-x)(1-2x)^2} \]

\[G(x)=\frac{c_0}{1-x}+\frac{c_1}{1-2x}+\frac{c_2}{(1-2x)^2} \]

• \([x^n]G(x)=1-2^{n+1}+(n+1)2^{n+1}\)

卡特兰数生成函数

\[H_n=\sum_{i=0}^{n-1}H_{i}H_{n-i-1} (n\geq 2 ) \]

\[H_0=1,H_1=1 \]

• 这个式子和卷积的形式很像，那么用卷积来构造：

\[H(x)=\sum_{i\geq 0} H_ix^i \]

\[H(x)=1+xH(x)^2 \]

\[H(x)=\frac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2x} \]

• 现在的问题是取哪个根

• 如果将分子有理化后，带入 \(x=0\) 应该是常数项 \(H_0\) ，那么封闭形式就可以确定为

\[H(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} \]

展开

• 这个不符合多项式的格式，没办法待定系数展开

• 这里需要用到牛顿二项式定理（普通二项式定理是它的特殊情况）

• 最终的式子为 \(\sum_{n\geq 0} \binom{2n}{n}\frac{1}{n+1}x^n\)

• 那么就可以得到卡特兰数的通项了