莫比乌斯变换 && lcm,gcd 卷积

原文章

• zeta 变换

\[f\zeta(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

• 其实可以将 zeta 变换看成一个对于质因子的幂次的高位前缀和

• 高位前缀和可以通过容斥转换成单点值，我们对于二维前缀和找找规律就可以发现

• \(\mu\) 函数的一个直观含义就是，如果每个因子的个数都为 0 ，那么值为 1 ，如果有一个质因数的幂次 > 1 ，那么值为 0 ，否则假设质因数的个数为 \(c\) ，那么值为 \((-1)^c\)

• 这个也是一种容斥系数

• 现在考虑求单点值 \(f(n)\)

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{f})f\zeta(d) \]

• 这个东西其实就是大家熟知的莫比乌斯变换

• 这里以一种易于懂的形式解释它的一种意义

• 同理枚举倍数也可以变换

\[f(n)=\sum_{n|d}g(d) \]

\[g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d) \]

• 下面记住两个式子：

\[h(n)=\sum_i\sum_jf(i)g(j)[\operatorname{lcm}(i,j)=n] \]

\[h\zeta(n)=g\zeta(n)f\zeta(n) \]

\[h(n)=\sum_i\sum_jf(i)g(j)[\gcd(i,j)=n] \]

\[h\zeta(n)=g\zeta(n)f\zeta(n) \]

• 所以如果限制了 \(\gcd,\operatorname{lcm}\) 可以考虑这种变换形式