莫比乌斯变换 && lcm,gcd 卷积
- zeta 变换
\[f\zeta(n)=\sum_{d|n}f(d)
\]
-
其实可以将 zeta 变换看成一个对于质因子的幂次的高位前缀和
-
高位前缀和可以通过容斥转换成单点值,我们对于二维前缀和找找规律就可以发现
-
\(\mu\) 函数的一个直观含义就是,如果每个因子的个数都为 0 ,那么值为 1 ,如果有一个质因数的幂次 > 1 ,那么值为 0 ,否则假设质因数的个数为 \(c\) ,那么值为 \((-1)^c\)
-
这个也是一种容斥系数
-
现在考虑求单点值 \(f(n)\)
\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{f})f\zeta(d)
\]
-
这个东西其实就是大家熟知的莫比乌斯变换
-
这里以一种易于懂的形式解释它的一种意义
-
同理枚举倍数也可以变换
\[f(n)=\sum_{n|d}g(d)
\]
\[g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)
\]
- 下面记住两个式子:
\[h(n)=\sum_i\sum_jf(i)g(j)[\operatorname{lcm}(i,j)=n]
\]
\[h\zeta(n)=g\zeta(n)f\zeta(n)
\]
\[h(n)=\sum_i\sum_jf(i)g(j)[\gcd(i,j)=n]
\]
\[h\zeta(n)=g\zeta(n)f\zeta(n)
\]
- 所以如果限制了 \(\gcd,\operatorname{lcm}\) 可以考虑这种变换形式