黎曼函数

定义

\[\zeta(x)= \begin{cases} \frac{1}{p} &x 为有理数 \frac{p}{q} ,p\perp q ,p\in N^+,q\in Z\\ 1 &x=0\\ 0 &x为无理数 \end{cases} \]

• 之所以定义 \(\zeta(0)=1\) ，这样能使得周期为 1 （无理数 +1 仍然是无理数，有理数 +1 后分母不变）

• 黎曼函数对 \(\forall x_0\in (-\infty,+\infty)\) 均有 \(\lim\limits_{x\to x_0} \zeta(x)=0\) ，也就是黎曼函数在数轴上一切无理点连续，有理点不连续

• 黎曼函数可积

• 黎曼函数：

\[\zeta(x) =\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^x} \]