2025 年 4月随笔档案 - 光辉233

哲学中的范畴和数学的范畴论；数学是先验的

摘要：为什么数学具有这种“既像先验真理、又像实践产物”的双重特性？一、数学源于人类理性结构，但发展超越直觉 1. 人类的认知结构天然支持抽象与归纳：数的概念源自对物体“计数”的经验；形状与空间概念源自对世界的感知；时间、顺序、因果，也都是直觉中具有抽象潜力的结构。 → 数学的最初部分源自“认知上的阅读全文

posted @ 2025-04-30 11:20 光辉233 阅读(57) 评论(0) 推荐(0)

为什么没有二阶微分不变性

摘要：微分几何中为什么要用线性函数的观点来看切向量? - 三川啦啦啦的回答 - 知乎这是一个非常深刻的问题，涉及几何不变量、微分结构的对称性以及物理定律的形式不变性等方面。我们可以从几何、物理和数学结构的角度分别解释：一、什么是一阶微分不变性？一阶微分不变性指的是某些几何或物理对象在变换坐标系（或参阅读全文

posted @ 2025-04-25 10:53 光辉233 阅读(53) 评论(0) 推荐(0)

光辉认为的“随机”在现实的重要性：在通信的学科的某些问题里，随机乱走棋的alpha go在棋盘非常大时棋力和围棋之神相差无几

摘要：为什么有些学数学的看不惯甚至鄙视深度学习？ - 朱元的回答 - 知乎作者：朱元链接：https://www.zhihu.com/question/58992444/answer/487218536 来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。我觉得这些喜欢用阅读全文

posted @ 2025-04-24 10:41 光辉233 阅读(18) 评论(0) 推荐(0)

微分dx的严格表述

摘要：究竟如何理解 dx？ - 雪王爱数学的回答 - 知乎 ODE中的分离变量法在常微分方程（ODE）中使用变量分离法时，两边对不同变量积分的过程，与微分几何中的微分形式（1-形式）和积分的理论有深刻联系，但需要分层次理解它们的对应关系。 1. ODE中的变量分离法考虑一阶ODE： \[\frac{d 阅读全文

posted @ 2025-04-24 10:40 光辉233 阅读(42) 评论(0) 推荐(0)

Radon测度是分析中最重要、最通用的一类测度

摘要：Lebesgue测度与局部Hausdoff空间一、Lebesgue测度的定义背景 Lebesgue测度（Lebesgue measure）是定义在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 上的一种测度。其特点包括：它是一个完备的、外正则、内可测的 Borel 测度；满足平移不变性（阅读全文

posted @ 2025-04-17 00:14 光辉233 阅读(198) 评论(0) 推荐(0)

凸集和紧集，凸集和连通集

摘要：凸集和紧集之间的关系并不直接，然而在某些情况下，凸集可以是紧集，具体取决于它的闭包和有界性。我们可以从以下几个角度理解凸集和紧集之间的关系： 1. 凸集与紧集的独立性凸性和紧性是两个独立的性质。也就是说，一个集合可以是凸的但不紧的，也可以是紧的但不凸的。它们并没有直接的相互依赖关系。例子：凸集但阅读全文

posted @ 2025-04-16 17:11 光辉233 阅读(69) 评论(0) 推荐(0)

流形与几何的学习

摘要：太好了！我们可以按章节或主题进行中英文对照笔记整理。以下是一个建议的学习安排（参考《GTM218》的结构）： 🗂 学习计划框架（可根据你的节奏灵活调整）：第一部分：流形的基本结构拓扑基础 Topological Preliminaries 流形的定义 Manifolds and Charts 阅读全文

posted @ 2025-04-16 15:00 光辉233 阅读(18) 评论(0) 推荐(0)

物理建模和数据建模

摘要：This contrast between traditional Newtonian modeling and modern data-driven approaches offers several important insights about how we understand and m 阅读全文

posted @ 2025-04-15 18:32 光辉233 阅读(35) 评论(0) 推荐(0)

神经网络就是负反馈调节

摘要：你这个问题非常有洞察力！“神经网络”和“负反馈调节”表面上属于不同领域，一个是机器学习（或人工智能）的模型，一个是系统控制的核心机制，但它们之间确实存在深层的联系。我们可以从以下几个角度来看它们的关系： ✅ 一、什么是负反馈调节？负反馈（Negative Feedback）是一个系统调节机制：当阅读全文

posted @ 2025-04-15 18:31 光辉233 阅读(104) 评论(0) 推荐(0)

拓扑！拓扑！！！

摘要：请速看这个链接，里面各种各样的拓扑知识拓扑为什么庞加莱猜想如此难以理解？是因为它涉及几何直觉复杂性，还是证明方法高度抽象性？庞加莱猜想的证明是如何将拓扑和几何联系起来的？如何理解庞加莱对偶（Poincare Duality）?无穷维流形的庞加莱对偶如何与量子场论中的对称性联系？｜拓扑｜对称性阅读全文

posted @ 2025-04-15 18:24 光辉233 阅读(4) 评论(0) 推荐(0)

流形manifold是基本对象

摘要：微分流形、微分拓扑、黎曼几何、代数拓扑的关系是什么？如何利用代数拓扑解决复杂流形拓扑问题？代数工具在几何学中的作用到底有多重要？流形是最基本的研究对象，它提供了一个局部类似于欧几里得空间的结构。如果我们只考虑连续映射（而没有微分结构），可以使用代数拓扑的方法，从代数角度研究流形的拓扑性质。如果阅读全文

posted @ 2025-04-15 18:22 光辉233 阅读(25) 评论(0) 推荐(0)

Gauss-Bonent公式就是Green公式

摘要：Guass-Bonnet公式其实就是Green公式阅读全文

posted @ 2025-04-15 16:18 光辉233 阅读(11) 评论(0) 推荐(0)

代数拓扑和黎曼几何有什么联系呢？

摘要：参考链接 \href{https://mp.weixin.qq.com/s/7HoxHnfvrpwx-E_1lvfcpQ}{代数拓扑和黎曼几何有什么联系呢？高斯-博内定理如何揭示代数拓扑与黎曼几何的联系？庞加莱猜想为何能用里奇流动证明？｜代数拓扑} 代数拓扑和黎曼几何是现代数学中的两个重要分支，它们阅读全文

posted @ 2025-04-15 16:17 光辉233 阅读(141) 评论(0) 推荐(0)

关于模(module) 、正规(normal)和正则(regular)

摘要：✳ 一、几种“模”的中文来源中文术语英文原文主要含义是否相关模（module） module 泛化向量空间的代数结构 ✅ 真正的“代数结构”中的“模” 模（modulo） modulo 同余运算，比如 $ 7 \bmod 3 = 1 $ ❌ 与代数结构的“模”没有直接关系模长、模（nor 阅读全文

posted @ 2025-04-15 14:57 光辉233 阅读(170) 评论(0) 推荐(0)

两种模型：高维、非线性和混沌

摘要：物理建模数据建模牛顿力学模型在处理高维、非线性或混沌系统时效果不佳，特别是当背后的物理原理未知或太复杂时神经网络擅长处理这类问题，但需要仔细验证，而且容易出现过拟合和偏差的问题你这个问题问得非常深刻！你提到了传统的牛顿式建模（基于微分方程）和现代的数据驱动建模（主要指深度学习）的两个极端，并阅读全文

posted @ 2025-04-15 14:47 光辉233 阅读(27) 评论(0) 推荐(0)

神经网络->高维非线性映射

摘要：蒙特卡洛方法和神经网络在机器学习和深度学习中有多种交集，它们可以相互补充，共同解决复杂问题。以下是它们之间的主要关系及其应用场景： 1. 蒙特卡洛方法在神经网络中的应用（1）训练优化与采样蒙特卡洛采样（MCMC）：在贝叶斯神经网络中，参数的后验分布通常难以直接计算，可通过马尔可夫链蒙特卡洛（MC 阅读全文

posted @ 2025-04-15 10:03 光辉233 阅读(106) 评论(0) 推荐(0)

扩散模型和numercially SDE

摘要：扩散模型的具体过程扩散模型（Diffusion Models）是一种生成模型，其核心思想是通过逐步添加噪声（正向过程）将数据分布转化为高斯噪声，然后学习如何从噪声中逐步恢复数据（反向过程）。具体步骤如下：正向过程（Forward Process）：数据 $ x_0 $ 通过逐步添加高斯噪声，经阅读全文

posted @ 2025-04-10 12:42 光辉233 阅读(142) 评论(1) 推荐(0)

太妙了！对偶！ The derivative is the opposite of the boundary.

摘要：科普：导数并不是你想象的那样 | 用拓扑的观点看待导数 [中英字幕] 非常好！你提到的是代数拓扑中的一个重要思想，你说的“导数是边界的相反（opposite）”这个结论，其实可以和边界算子（boundary operator）和导数（外导数）之间的关系联系起来。我们来一步一步解释这是什么意思。背景阅读全文

posted @ 2025-04-10 11:46 光辉233 阅读(62) 评论(0) 推荐(0)

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