微分dx的严格表述

究竟如何理解 dx？ - 雪王爱数学的回答 - 知乎

ODE中的分离变量法

在常微分方程（ODE）中使用变量分离法时，两边对不同变量积分的过程，与微分几何中的微分形式（1-形式）和积分的理论有深刻联系，但需要分层次理解它们的对应关系。

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1. ODE中的变量分离法

考虑一阶ODE：

\[\frac{dy}{dx} = g(x)h(y), \]

变量分离的步骤为：

1. 形式分离：
   \[\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx. \]

2. 两边积分：
   \[\int \frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx + C. \]

问题：为什么可以对不同变量（$ dy $ 和 $ dx $）的表达式分别积分？数学上是否合法？

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2. 微分形式的视角

微分几何中，上述过程可以严格解释为对微分形式的积分：

• 将ODE改写为1-形式等式：

  \[\frac{1}{h(y)}dy - g(x)dx = 0. \]

  左侧是一个1-形式 $ \omega = \frac{1}{h(y)}dy - g(x)dx $，解方程即找曲线 $ \gamma(t) = (x(t), y(t)) $ 使得 $ \gamma^*\omega = 0 $。

• 积分因子：
  变量分离的本质是找到积分因子 $ \mu(x,y) = \frac{1}{h(y)} $（或 $ \frac{1}{g(x)} $），将1-形式 $ \omega $ 变为恰当形式（全微分）：

  \[\mu \omega = dy - \frac{g(x)}{h(y)}dx = d\left( \int \frac{1}{h(y)}dy - \int g(x)dx \right). \]

  因此，积分后得到的隐式解 $ F(x,y) = C $ 是原方程的积分曲线。

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3. 为什么可以“分开积分”？

• 微积分基本定理的推广：
  对1-形式 $ \omega = M(x,y)dx + N(x,y)dy $，若 $ \omega $ 是恰当形式（即存在 $ F $ 使得 $ \omega = dF $），则沿路径积分 $ \int_\gamma \omega = F(\text{终点}) - F(\text{起点}) $，与路径无关。
  变量分离法中，通过积分因子将 $ \omega $ 转化为恰当形式，从而两边积分对应求势函数 $ F $。

• 具体操作：
  在分离变量后，$ \frac{dy}{h(y)} - g(x)dx = 0 $ 已经是全微分 $ d\left( \int \frac{dy}{h(y)} - \int g(x)dx \right) = 0 $，因此可直接积分。

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4. 与数学分析中的“微元”直觉的对应

数学分析中，将 $ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $ 写成 $ \frac{dy}{h(y)} = g(x)dx $，看似是对“微元”的操作，实际是以下严格步骤的简化：

1. 将方程视为1-形式 $ \omega = \frac{1}{h(y)}dy - g(x)dx $。
2. 验证 $ \omega $ 是闭形式（$ d\omega = 0 $），且在单连通区域上是恰当形式。
3. 通过积分求出势函数 $ F(x,y) = \int \frac{dy}{h(y)} - \int g(x)dx $，解为 $ F(x,y) = C $。

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5. 例子说明

解方程 $ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y} $：

1. 分离变量：
   \[ydy = x^2dx. \]

2. 微分形式视角：
   • 定义1-形式 $ \omega = ydy - x^2dx $。
   • 它是恰当的，因为 $ \omega = d\left( \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}x^3 \right) $。
   • 积分得 $ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}x^3 = C $。

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6. 总结

ODE变量分离法	微分几何解释
形式操作 $ \frac{dy}{h(y)} = g(x)dx $	处理1-形式 $ \omega = \frac{1}{h(y)}dy - g(x)dx $
两边分别积分	积分恰当形式 $ \omega = dF $
解为隐式方程 $ F(x,y) = C $	势函数 $ F $ 的等值线是积分曲线

• 核心思想：
  变量分离法是微分形式积分在特定坐标系下的简便操作，其严格性由微分几何保证。
• 意义：
  微分几何揭示了ODE解法背后的几何结构（如积分曲线、恰当形式），并将方法推广到更一般的流形上。