流形manifold是基本对象

微分流形、微分拓扑、黎曼几何、代数拓扑的关系是什么？如何利用代数拓扑解决复杂流形拓扑问题？代数工具在几何学中的作用到底有多重要？

流形是最基本的研究对象，它提供了一个局部类似于欧几里得空间的结构。

• 如果我们只考虑连续映射（而没有微分结构），可以使用代数拓扑的方法，从代数角度研究流形的拓扑性质。
• 如果映射是光滑的（可微的），我们就可以用微分拓扑的工具来研究流形的结构，比如临界点、浸入、嵌入等。
• 如果我们在流形上引入了黎曼度量，就可以定义距离、角度、体积等几何量，从而使用黎曼几何的方法研究流形上的几何性质，比如曲率、测地线等。

更正式一点的表达：

A manifold is the basic object of study in differential geometry and topology, providing a smooth or topological structure that locally resembles Euclidean space.

• When we study manifolds using only continuous maps, we enter the realm of algebraic topology, which uses algebraic tools (like homology, cohomology, and fundamental groups) to study the topological properties of spaces.
• When we assume smooth (differentiable) maps, we can apply tools from differential topology, which focuses on smooth structures and properties such as immersions, embeddings, and critical points.
• When a manifold is endowed with a Riemannian metric, we get a Riemannian manifold, allowing us to define notions of length, angle, and curvature, thus enabling the study of geometric properties via Riemannian geometry.

微分流形、微分拓扑、黎曼几何、代数拓扑的关系是什么？如何利用代数拓扑解决复杂流形拓扑问题？代数工具在几何学中的作用到底有多重要？