为什么没有二阶微分不变性

微分几何中为什么要用线性函数的观点来看切向量? - 三川啦啦啦的回答 - 知乎

这是一个非常深刻的问题，涉及几何不变量、微分结构的对称性以及物理定律的形式不变性等方面。我们可以从几何、物理和数学结构的角度分别解释：

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一、什么是一阶微分不变性？

一阶微分不变性指的是某些几何或物理对象在变换坐标系（或参考系）时，它们的一阶导数（或微分形式）仍保持形式不变。

举例：微分几何中的1-形式

在流形上，如果你有一个函数 $ f $，其微分是一个 1-形式：

\[df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i \]

这个表达式在坐标变换下是张量形式变换的，会得到一个新的坐标系下的 $ df $，但整体保持形式一致，称为一阶微分不变性。

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二、为什么没有自然的“二阶微分不变性”？

1. 二阶导数不自然地变换（不是张量）

如果你考虑二阶导数：

\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j} \]

这个对象在坐标变换下并不服从张量变换规则。这是因为当你从一个坐标系 $ x^i $ 切换到 $ y^j $，你会涉及二阶导数链式法则，里面会出现二阶偏导数项，比如：

\[\frac{\partial^2 f}{\partial y^i \partial y^j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^k \partial x^\ell} \frac{\partial x^k}{\partial y^i} \frac{\partial x^\ell}{\partial y^j} + \frac{\partial f}{\partial x^k} \frac{\partial^2 x^k}{\partial y^i \partial y^j} \]

注意最后一项，它包含了坐标变换函数的二阶导数，这意味着整体不再是一个张量！

因此，二阶导数在一般坐标变换下不是张量，不具有不变性。

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三、自然地引入二阶导数的方法：联络与曲率

为了让二阶导数具有一定的“几何意义”，数学家引入了联络 (connection) 和 共变导数 (covariant derivative)。

举例：

• 在流形上，定义一个联络 $ \nabla $，使得对向量场 $ X, Y $ 有：

  \[\nabla_X Y \]

  这是某种“经过修正的一阶导数”，可以让你定义张量级别的二阶导数，例如：

  \[\nabla_X \nabla_Y Z \]

  进而可以构造出不变量，比如曲率张量

• 所以，二阶微分结构本身不能直接保持不变，但可以通过引入额外结构（如联络）来建立具有不变性的对象。

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四、在物理中的解释

在狭义相对论或广义相对论中，物理定律要求在洛伦兹变换或一般坐标变换下保持形式不变。这种不变性主要针对：

• 物理量的一阶导数，比如电磁势的微分是电磁场强张量
• 动力学方程常常只包含一阶导数（如运动方程）

如果引入二阶导数，需要联络项修正它（如Christoffel符号），否则无法保持变换下的不变性。

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五、总结

方面	一阶微分不变性	二阶微分
本质	张量	不是张量
在变换下	形式保持	多了额外项（坐标变换的二阶导）
举例	微分形式、切向量	Hessian矩阵，不具有自然不变性
修正方式	无需修正	需引入联络（如共变导数）

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可以进一步说明在黎曼几何中，如何用联络构造具有不变性的“二阶导数”对象（如曲率张量）