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题意： 给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图，每条边标有 \(0\) 或 \(1\)，统计无序点对 \((x,y)\) 的数量，满足 \(x,y\) 之间存在一条简单路径（点不重），使得这条简单路径既经过 \(0\) 边也经过 \(1\) 边。 \(n\leq 4\times 10^ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 21:19
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~~这都能扯到二分图上，看来是我做题太少了。~~ 不是质数的情况有很多种，不妨考虑一下包含质数的情况。 考虑到质数只有可能是奇数+偶数构成的（$2$ 除外，不过 $2$ 只能由 $1+1$ 凑成，所以我们考虑时只考虑一个 $1$，其余的 $1$ 全部不选），所以不妨将所有的数按奇偶分类，构成一个二分 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:47
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考虑树形 DP，假设我们已经考虑完当前子树内监听点的放置情况，根为 $u$，考虑我们要记录什么状态：$u$ 子树内的监听点向子树外还能监听多远，$u$ 子树内距离根最远的未被监听点有多远。 发现当第二个状态存在时，第一个状态是无用的，因为若 $u$ 子树内存在一个未被监听的点 $v$，设其到 $u$ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:47
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显然，$y_i$ 加上 $c$ 可以看成是 $x_i$ 减去 $c$。 所以就变成了 $x_i$ 加上一个整数（可正可负）。 现将 $x$ 环拆成一个长度为 $2n$ 的序列 $a$（复制一遍），把 $y$ 环拆成一个长度为 $n$ 的序列 $b$。 那么旋转操作就可以看成是 $b$ 序列与 $a$ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:47
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题意扩展版：有两个长度为 $n$ 的序列 $a,b$，你需要维护 $m$ 次操作： 对 $a$ 区间赋值。 给定 $l,r$，对于所有 $i\in[l,r]$，执行 $b_i\gets b_i+a_i$。 询问区间 $b$ 的和。 题解： UPD：可以线段树上每个点维护矩阵 $[suma,sumb, 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:47
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题意： 给你一棵树，你要对所有节点定一个顺序序列，形如 $p_1 \oplus_1 p_2 \oplus_2 p_3\cdots p_{n-1}\oplus_{n-1} p_n$，其中 $\oplus_i$ 为 $=$ 或 $<$，$p_{1\sim n}$ 为 $1\sim n$ 的一个排列， 要 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:47
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这个条件给的有点诡异：对于任意的 $a_{p_j}=p_k$，都有 $k<j$。 那么对于某个 $a_x=y$，意思就是 $y$ 在 $p$ 中的位置小于 $x$ 在 $p$ 中的位置。 那么如果我们连边 $(a_x,x)$，就是要求图中没有环，是一棵树，而且父亲在 $p$ 中的位置要小于儿子在 $ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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线段树分裂&合并入门题。 对于每个单调段用一个权值线段树维护。一次操作相当于先对 $l,r$ 所在的单调段的权值线段树分裂，然后再合并若干棵的权值线段树。 线段树分裂和 fhq-treap 的分裂类似，只不过根到分裂成的两部分的 $lca$ 的那一段路径要复制一遍。 线段树分裂&合并的时间复杂度分析 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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首先想一下题目中的操作如何转化： 当一个节点被去掉之后，这个节点上的樱花和它的儿子节点都被连到删掉节点的父节点上。 设当前节点为 $u$，$u$ 的父节点为 $fa$，儿子个数为 $son_u$。那么当我们把节点 $u$ 删去时，$fa$ 的樱花数会加上 $c_u$，儿子个数会加上 $son-1$（ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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先考虑没有树的限制，即我们可以任意安排顺序打怪兽，那么这就是一个全序问题。 考虑在某种顺序下，假设初始血量为 $st$，那么打到第 $i$ 个怪物时剩余的血量就是 $st+\sum\limits_{j=1}^{i-1}(b_j-a_j)$，如果设 $sum_i=\sum\limits_{j=1}^{ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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如果题目中只有两个国家，事情就非常简单了：假设只有国家$A$和$B$，我们先找出$A$和$B$的最近公共祖先$lca$，然后找到在路径$A\longrightarrow lca\longrightarrow B$上的中点$mid$，然后分3类讨论： 若$dis(A,mid)==dis(B,mid)$ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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学到了很多。 我们分步走。 首先在做这道题前先观察到几个小性质： 操作顺序不同不影响结果 发现对于每一个黑点，一通操作过后它扩展出的区域是一个矩形，而操作顺序是不影响这个矩形的大小和位置的。 最后的要求 “任意两个黑色格子八连通” 等价于 “一开始图中的黑色格子八连通”。 这是显然的，因为对于一个黑 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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题意：称一个长度为 $n$，值域为 $[1,D]$ 整数序列为合法序列，当且仅当序列中能选出 $m$ 对数相等。问合法序列数。 $1\leq D\leq 10^5,1\leq n,m\leq 10^9$。 题解： 设 $c_i$ 表示数 $i$ 在序列中的出现次数，那么限制转化成： $$ \sum_ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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Subtask 1：$55pts$ $n\leq 2000$。 ~~这就变成了一道模拟题了呀。~~ 对于每一轮，先假设最大的吃了最小的，然后往下递归每一轮，并设置数组 $alive$，维护这之后会有哪些蛇活着。在回溯的时候，如果最大蛇的发现它自己被吃了，就撤销吃这个动作，并重新更新 $alive$ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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题意：给你一棵 $n$ 个点的树，从根节点开始走 $m$ 步，最多能遍历多少个节点。 题解： 考虑我们走的路径，设起点是 $S$，终点是 $T$，那么我们肯定是走的类似这么一条路径： 设 $S\to T$ 这条链的长为 $l$，那么我们在子树中走了 $m-l$ 步，子树中恰好会走 $\frac{m- 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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题意： 有一个无限大的整数表格 $f$ 满足以下两条法则： $f(a,b)=f(b,a)$。 $b\times f(a,a+b)=(a+b)\times f(a,b)$。 初始时 $f(a,b)=a\times b$。有 $m$ 次修改，每次修改会改变某个位置，并将所有此次修改会影响到的所有位置按照 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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暴力做法就不会做…… 考虑容斥，用所有数 $\leq a_i$ 的方案减去所有数 $<a_i$ 的方案得到最大值为 $a_i$ 的方案，$b_i$ 同理容斥，时间复杂度 $O(2^{n+m}nm)$。 直接在容斥上优化是没有前途的，考虑换一种思路。 发现我们交换两行或交换两列并不影响答案，那我们不妨 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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题意： 有一个序列 $a_1,\cdots,a_n$，初始时它们全为 $1$。进行 $d$ 轮操作：每轮操作以正比于 $a$ 的概率选择一个 $a_i$ 加 $1$。求最后 $a_1,\cdots,a_n$ 中前 $r$ 大的和的期望，精度要求 $10^{-6}$。 $n,d,r\leq 500$。 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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首先可以钦定每次只删当前点的出边。 然后可以注意到，在最优策略下，我们肯定不会走回重复的点：否则意味着出现了一个环，那么我们还是需要将这个环上的某条边删掉（否则最坏情况就是绕着环一直走），那么不如第一次走到的时候就删掉。 这意味着，我们删除某条边不会带来后效性，换言之最优策略中我只关心当前点在哪，并 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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首先容易知道 $b$ 序列在 $a$ 中的顺序肯定是从小到大排序的，否则交换 $b$ 中逆序的肯定会更优。 接下来是一个很鬼的结论。 设 $p_i$ 表示考虑仅将 $b_i$ 插入 $a$ 序列中，最优位置是插在 $a_{p_i-1}$ 与 $a_{p_i}$ 之间，注意对于同一个 $i$，$p_i 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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题意：给一张图，每个点有一个可以为负的权值 $a_i$，一次操作可以选择一条边 $(i,j)$ 并让 $a_i,a_j$ 同时增加任意一个可以为负的整数值，问是否存在操作方式使得所有点点权变为 $0$。 首先判掉 $\sum a_i$ 为奇数的情况。 由于逆操作的存在，那么我们可以对于原来的条件任意 阅读全文
posted @ 2022-10-28 20:39
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首先 Yes 的必要条件是图连通且 $\sum a_i\geq (n-1)x$。 发现这竟然就是充要条件。 首先一个很重要的结论：假如一开始 $\sum a_i\geq (n-1)x$，那么对于之后的任意时刻肯定都满足 $\sum a_i\geq (n-1)x$（连通块缩完点后）。 证明最大值+最小 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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带删除维护最大值显然不好做，所以考虑先把最后的图建出来，再从后往前加边。 但是询问中还带修改（让 $p_u=0$），这样会影响后面的询问，所以也不能加边时就得到答案。 这里给出一种简单易懂的做法： 在从后往前枚举操作的时候： 如果是加边 $(u,v)$ 且 $u$ 和 $v$ 不连通（设它们所在连通 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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题意： 给一棵 $n$ 个点的树，保证 $n$ 为偶数，你需要将这 $n$ 个点两两配对，使得每对点的距离和恰好为 $k$。判断无解或输出方案。 $n\leq 10^5,k\leq n^2$。 题解： 首先考虑 $k$ 的上下界，这是一个很经典的问题，可以考虑每条边 $(u,v)$ 的贡献：假设左右 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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题意： 给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图，边带权，保证不存在一个长度 $>3$ 的简单环经过了 $1$ 号点。请求出有多少种方案删除若干条与 $1$ 号点相连的边，使得不存在任何一条路径（不一定是简单路径）满足： 以 $1$ 号点为起点，以 $1$ 号点为终点。 路径经过的所有边的边 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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首先发现所有询问点都是充电桩这个条件很有用。 它能滋生出一种暴力到极端的想法：用 Floyd 对全局跑一遍最短路。然后新建一个图，图中两两充电桩连一条边，边权为它们之间的最短路，代表着从这个充电桩直接走到那个充电桩最少要备多少电。然后再把新图的最小生成树建出来，询问时直接询问树上两点路径边权最大值。 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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题面 题意有点难懂。 ~~主要是洛谷给的翻译太zz了。~~ 大概的意思是： 给定一棵 $n$ 个点的有根树，$1$ 为根，每一个点有一个代价 $c_i$。 然后有两个人 Alice 和 Bob 在玩游戏。 在第一阶段，Alice 会购买树上的一些点，购买一个点的代价是 $c_i$。 在第二阶段，Bo 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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看到异或最值要么是线性基要么是 01Trie。 线性基显然可以排除。 那么先把所有的 $a_i$ 插入 01Trie 内。 然后发现对于任意两个数 $a_i$ 和 $a_j$： 你发现它们在 $rt \sim lca$ 路径上异或出来都是 $0$。 不妨定义两个结束节点的 “分离节点” 为它们的 $ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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如果没有恰好为 $k$ 的限制的话是个老鼠进洞的经典模型。 加上恰好为 $k$ 的限制后考虑使用 wqs 二分，因为费用流每次增广出来的费用是单调不降的。即如果设 $g(k)$ 表示总流量恰好为 $k$ 的最小花费，那么必有 $g(k)-g(k-1)\le g(k+1)-g(k)$，且 $(k,g( 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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考虑 dp。 发现正着 dp 好像不太好做，毕竟初值不太好设，而且时间一大于 $t$ 费用就要加上 $x$，所以考虑倒着 dp。 设 $f_{u,j}$ 表示现在已经到达 $u$ 点，耗时 $j$，问到达 $n$ 点的最小期望费用。 容易得到边界条件：$f_{i,j}=dis_i+x(j>t)$（其 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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题目也没有给出什么很特殊的性质，所以考虑能不能高精度最短路。 dijkstra 中涉及的运算主要是两个：加法和比较大小。 注意到题目给出的边权是 $2^k$ 的形式，我们不如直接用二进制表示每一个数。 而比较大小的实质是从高到低找到第一个不相等的位，这个我们可以用哈希+二分实现。 发现加法并不是两个 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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题意：给你一棵 $n$ 个节点的树找出 $k$ 个不同的点 $a_1,a_2,\cdots,a_k$， 使得 $\sum\limits_{i=1}^{k-1} dis(a_i,a_{i+1})$ 最小。 首先有个容易想到的性质：这 $k$ 个点一定是相邻的，那么选 $k$ 个点可以看成选 $k-1$ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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和《花神游历各国》有异曲同工之妙。 首先能想到扩展欧拉定理： $$ a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}&\text{if }b\geq\varphi(p)\ a^b&\text{if }b< \varphi(p) \end 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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一种非 DDP 的树剖做法。 ~~主要是因为我不会 DDP，在考场上只想到了树剖。~~ 首先如果没有修改，很容易想到朴素的 dp 做法： 设 $val_u$ 表示 $u$ 本身的权值，$dp_u$ 表示以 $u$ 为根的子树的答案，显然有： $$dp_u=\min\left(val_u,\sum_{ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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Description 兔子们在玩k个串的游戏。首先，它们拿出了一个长度为n的数字序列，选出其中的一个连续子串，然后统计其子串中所有数字之和（注意这里重复出现的数字只被统计一次）。 兔子们想知道，在这个数字序列所有连续的子串中，按照以上方式统计其所有数字之和，第k大的和是多少。 Input 第一行， 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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考虑莫队，但是我们发现这个东东只支持$ins$（至于怎么支持等会再讲），不支持$del$操作，所以我们构造一种只$ins$不$del$的莫队。 由于我们按莫队的方法排序，第一关键字为$l$所在的块，第二关键字为$r$。所以当排完序后，肯定是当$l$所在的块相同时，$r$单调递增，所以我们对$l$所在 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:52
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摘要：
Description 现在有一种卡牌游戏，每张卡牌上有三个属性值：A,B,C。把卡牌分为X,Y两类，分别有n1,n2张。 两张卡牌能够配对，当且仅当，存在至多一项属性值使得两张卡牌该项属性值互质，且两张卡牌类别不同。 比如一张X类卡牌属性值分别是225,233,101，一张Y类卡牌属性值分别为11 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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一般看到这种求某个矩阵的多项式的题就有可能是利用其特征多项式。 给定矩阵 $M$，求 $M^n$。 求出 $M$ 的特征多项式 $f(x)$，那么 $f(M)=0$。 所以我们可以让 $M^n$ 一直减 $f(M)$ 直到次数低于 $f(M)$ 为止。 意思就是我们先求出 $g(x)=x^n\bmo 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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看到题面容易想到跟斯坦纳树有关。 那么我们不妨设 $f(i,sta)$ 表示根为 $i$，关键点的状压状态为 $sta$ 时的最小代价。 那么所有的 $f(i,sta)$ 我们都可以用斯坦纳树的模板求出来。 现在考虑如何达到题目的要求。 因为考虑到频道的数量也小于 $10$，所以考虑一下能不能也用状 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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毒 瘤 计 数！ XSY 题意不是很清楚，这里给出更加清楚的： 给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，保证该图整个图为一个强联通分量，且无重边自环。现在需要求出：有多少种删边方案，使得删完边后，整个图依旧是一个强联通分量。数据范围：$n\leq 15,m\leq n(n-1)$。 记 $E[ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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首先设有 $x$ 组 $a>b$，由 $x-(n-x)=k$ 解得 $x=\dfrac{n+k}{2}$。 先将 $a$、$b$ 数组排序。 然后设 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个 $a$ 中，选了 $j$ 组 $a>b$。 显然有： $$f(i,j)=f(i-1,j)+\big[l_i-(j 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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先考虑怎么样才能保证某个数只出现了一次。 对于序列中的某个数 $a[i]$，我们求出上一个出现 $a[i]$ 的位置为 $pre[i]$，下一个出现 $a[i]$ 的位置为 $nxt[i]$。 那么当询问的 $l$、$r$ 满足 $pre[i]<l\leqslant i$ 且 $i\leqslant 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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$$ \begin{aligned} f(n)&=\sum_{i=1}^k i^k\ g(n)&=\sum_{i=1}^n f(i)\ h(n)&=\sum_{i=0}^ng(a+id) \end{aligned} $$ $f(n)$ 是自然数幂求和，为 $k+1$ 次多项式。 $g(n)$ 的差分 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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由 $x\oplus3x=2x$ 推出 $x\oplus2x=3x$，然后又有 $x+2x=3x$。 定理：若 $a\oplus b=c$ 且 $a+b=c$，则不可能存在 $a$、$b$ 在二进制下的某一位都是 $1$。 证明：设 $a$ 在二进制下的第 $i$ 位为 $a_i$，$b$ 在二进制 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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一眼看到这题发现和【HNOI2013】游走很像，于是同样的设 dp 然后用高斯消元解： 设 $f(a,b)$ 表示 $A$ 在 $a$ 房间，$B$ 在 $b$ 房间的期望次数，$deg_u$ 表示 $u$ 的度数。那么由于 $A,B$ 相遇在某个点 $i$ 后就不可能再往下走了（即次数只能为 $1 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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思路跟 happiness 差不多，只不过需要用主席树优化一下建图。 #include<bits/stdc++.h> #define N 5010 #define INF 0x7fffffff using namespace std; int read() { int x=0; char ch=ge 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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首先想到怎么求出每一条边 $i$ 在每次游走中被经过次数的期望 $f_i$，那么答案就可以贪心地取。（即让最大的 $f_i$ 权值设为 $1$，次大的设为 $2$，……，最小的设为 $m$） 但是发现不好统计，或者时间无法承受。 发现点数很小（$n\leq 500$），于是想到怎么通过点的期望值转移 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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摘要：
综合性比较强的一道题。 据说有$LCT$+主席树的毒瘤做法，我也不知道这群人码这个东西的信心从哪来 ~~但人家到底是码出来了~~ 对于询问，我们考虑用主席树实现。 关键是怎么建才能维护一条路径上的。 对于原树中的节点$u$，我们在权值线段树中维护的是从根到$u$的所有点的点权。 那么对于$u$到$v 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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我们可以把一块巧克力看做平面上的点$(x,y)$ 那么显然，对于一次询问$(a,b)$，我们可以用$x_{max}$或$x_{min}$，以及$y_{max}$或$y_{min}$来求出$ax+by$的最大值（这显然是一个单调函数）。 所以我们考虑用$kd-tree$来维护这个东东。 对于$kd-t 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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摘要：
结论：$f_j|f_i$ 等价于 $j|i$。 证明：（来自DTZ巨佬） 于是询问就变成了求一个数的因数个数和因数的平方和。 设 $x=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$。 那么 $x$ 的因数个数为 $\prod\limits_{i=1}^m(k_i+1)$，因 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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摘要：
不妨先设$n<=m$。 把题目的柿子推一下： $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$$ 由于$lcm(i,j)*gcd(i,j)=ij$ $$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}$$ 设$d=gcd( 阅读全文
posted @ 2022-10-28 19:40
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上下界网络流的做法大佬们都讲过了，我就来讲一个另类的解法。（不过也是网络流） ~~这个做法是考场上想了很久都不会后奇思妙想想出来的（不会上下界网络流），所以没多少思路引导。~~ 首先原题明显可以转移成一个类似最小链覆盖的问题。 剩下的就是我的具体做法： 我们对原来的有向无环图进行改造： 上面的是原图 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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题目让我们维护这么一个东西：$\dfrac{y_i+q_j}{x_i+p_j}$ 的最大值。 容易想到分数规划，二分枚举答案 $mid$，则有：$\dfrac{y_i+q_j}{x_i+p_j}=mid$ 化简：$y_i+q_j=mid\times(x_i+p_j)$ 移项得：$(y_i-mid\t 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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~~输入格式真的毒瘤~~ 权值线段树合并。 我们先对每一个叶子建一棵权值线段树，并把它自己的权值插入到里面。 我们不妨设原树中当前节点为 $u$，爸爸 $fa$，左儿子 $lc$，右儿子 $rc$，那么显然这棵树中的逆序对分为 $3$ 个部分：$lc$ 里的逆序对，$rc$ 里的逆序对和跨 $lc$ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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建模： 首先 $S$ 向每一个 $(i,j)$ 连一条它选文科的价值的边，每一个 $(i,j)$ 向 $T$ 连一条它选理科的价值的边。 然后对于两个点 $a,b$，假设他们同时选理科能获得价值 $x$，那么新建一个节点 $newnode$，连 $(S,newnode,x)$，$(newnode,a 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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三分的第一道入手题。 三分是个什么样的东西呢？我用一个例题来解释： 给你一段序列，保证有且仅有一个位置 $i$，使得 $i$ 左边的序列单调递增，$i$ 右边的序列单调递减，请你找出这个位置 $i$ 这个问题形象的解释就是有一座山峰，问你这座山峰的最高点在哪里。 那么我们可以用到三分法来解决。三分像 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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先把所有点的$x$坐标离散化。 然后分别将所有点按$x$、$y$排序。这里以按$x$排序为例，对于$x$坐标相同的两个点，我们把它们连成一条线段。那么按$y$坐标排序也一样，把$y$坐标相同的两个点也连成一条线段。 那么连出来后的图就是这样的： 那么横竖线段的所有交点（图中蓝点）即为可以变dark的 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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考虑 dp。 我们先把 $(n,m)$ 也当做障碍点，然后把所有的障碍点按 $x$ 坐标为第一关键字，$y$ 坐标为第二关键字排序。 然后设 $f_i$ 表示到达第 $i$ 个障碍点的合法总方案数（途中不经过障碍点）。显然，答案就是 $f_{t+1}$，也就是到达 $(n,m)$ 的总方案数。 至于 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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给定 $a,b,L,R$，找到最小的 $p\geq 0$，使得 $pa\bmod b\in[L,R]$。 设 $qb\leq pa<(q+1)b$。 等价于找到最小的 $q\geq 0$，使得存在 $qb\leq pa<(q+1)b$ 满足 $pa\bmod b\in [L,R]$，即存在 $p$ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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首先用 $2n$ 个点表示每个机器人，原图中的一个球转化为图上的一条边，于是转化为一个二分图模型。 我们对这个二分图的每个连通块分开考虑（假设有 $cnt$ 个连通块），显然一个大小为 $s$ 的连通块应该有 $s$ 条边，于是这既是一个二分图也是一个基环树。 二分图+基环树唯一的性质应该就是基环树 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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这种区间反转的题，套路就是差分。 设 $a_i$ 表示第 $i$ 枚硬币是否正面朝上，显然只有 $a_{x_1},a_{x_2},\cdots,a_{x_n}$ 等于 $1$，其他都是 $0$。那么我们的目标是把 $a$ 数组全部变成 $0$。 设 $b_i$ 表示第 $i$ 枚硬币和第 $i-1$ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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遇到这种整列整行的题可以考虑用一个节点表示整一列或者建一个虚拟节点向这一列的每个点连边。 然后最小割的定义：把所有节点分到分别包含 $S$ 和 $T$ 的两个集合内，求 $S$ 所在集合指向 $T$ 所在集合的所有边的边权和的最小值。 也就是割成两半的最小代价，这个可以联想到： 图论，把图分成两半的 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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注意到颜色的种类数只有 $3$ 种，$n\leq 100$ 也很小。 然后就有了一种神奇的 dp 状态： 考虑从前往后填方块，设 $dp(i,j,k)$ 表示离当前位置最近的颜色位置在 $i$，离当前位置第二近的颜色位置在 $j$，离当前位置第三近的颜色位置在 $k$。显然，当前位置就是 $i$，所 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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注意：本题的点数可以相比题解优化一半。 首先先二分答案。 然后判断能否使得两两旗子之间的距离都大于 $mid$。 然后发现这是一个 2-SAT 问题。 2-SAT 问题：通俗地说，有 $n$ 个 bool 变量 $a_i$，并给出一些形如 $a_i\oplus a_j=0/1$ 的条件（其中 $\o 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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首先发现那个双端队列一定长这样： 也就是说，这个队列中的数先单调递减，然后再单调递增，最小值为 $1$。 现在考虑从双端队列中取数，那么当我们取到 $1$ 这个数时，我们会在原来的双端队列中取到类似这样的两个数列：（分别用红、蓝表示） 那么红、蓝两数列的总长度为 $k$，剩下的就是绿色的一段，长度为 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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对于某个集合 $S\subseteq{1,\cdots,n}$，考虑能不能删去 $S$。 对于任意 $x\in S$，连边 $x\to x-2$（如果 $x-2\in S$）及 $x\to x+k$（如果 $x+k\in S$），那么能把 $S$ 删去当且仅当这张图是一个 DAG。 于是我们先对所有 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:37
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先假设只有一维的情况。 考虑枚举偷的珠宝的个数 $k$，且假设它们按照坐标大小排好了序。 那么可以将条件转化一下，大于等于 $a_i$ 的最多取 $b_i$ 个可以转化为取的前 $k-b_i$ 个珠宝的坐标要小于 $a_i$。 同理，小于等于 $a_i$ 的最多可以取 $b_i$ 个可以转化为取的后 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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显然如果没有树的限制，我们优先选 $0$，然后选 $1$。 如果有了树的限制，我们考虑下面这么一种贪心方法：假设当前能够选的点的集合为 $S$（初始时 $S$ 只包含根），然后选出 $S$ 中优先级最大的点 $u$（$0$ 的优先级大于 $1$ 的优先级）放在序列末尾，然后把 $u$ 从 $S$ 中 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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考场上用了一种奇怪的做法，不知道为什么就对了，考完后仔细想才想明白。 很巧妙的一种 dp 方式。 首先发现每次操作是拿一个球、放两个球、再拿一个球，总球数不变，所以有 $\text{黑球数}=n-\text{白球数}$。 那么可以设 $dp(i,j)$ 表示 $i$ 次操作后，当前箱子里白球还剩 $ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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考场上想了很久才想到做法，然后考完后又想了很久，加上看了一下一些大佬的博客和 Atcoder 的官方题解，才完整地证明了整个做法的正确性。综合了一下，在这里详细阐述： 首先发现如果两个数不互质而且相邻，那么他们之间的相对位置不会改变。（就是本来在左边的不能跑到右边去） 考虑如果先手给出的排列是 $a 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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首先正面做不太好做，考虑容斥。 设 $f(m)$ 表示排列中至少有 $m$ 处 $|P_i-i|=k$ 的方案数。 那么答案就是 $\sum\limits_{i=0}^n(-1)^if(i)$。 原题可以看成一个二分图的形式：（$n=5$ 时） 左边是排列的编号，右边是权值，那么现在要做的就是连 $ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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先说一下下文会用到的定义或称呼的意思： 称单位分形为题目给出的 $1$ 级分形。 称一种分形左右联通，则说明将两个这种分形左右放在一起时，至少有一个连通块是跨越这两个分形的。 设一种分形的左右联通个数 $side_0$ 表示，当两个这种分形左右放在一起时，所贡献的连通块个数，即有多少个连通块是跨越左 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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题意：求 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{i-1}\dbinom{A_i+A_j+B_i+B_j}{A_i+A_j}$，$n\leq 2\times 10^5$，$A_i,B_i\leq 2000$。 显然是从 $A_i,B_i\leq 2000$ 的数 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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~~我竟然能在 AT 当场做出 F 题！~~ 哦，是 ABC 啊，没事了。 以下的字符串均从 $1$ 开始记位。以下设 $S_i$ 表示字符串 $S$ 的第 $i$ 位，$S(l,r)$ 表示字符串 $S$ 的第 $l$ 位到第 $r$ 位组成的子串，也可以表示字符串 $S$ 的第 $l$ 位到第 阅读全文
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一些记号： $d(x)$ 表示 $x$ 的因数个数。 如无特殊说明，以下记为 $p$ 的变量的取值集合为质数集合。 为了方便，有时用 $a/b$ 表示 $\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor$。 记模数为 $P$。 有个加号不太好处理，我们分开两部分来求：$\prod\limits_ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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设 $f(n)$ 表示 $n$ 的次大因数。 $$ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nf(\gcd(i,j))^k\ =&\sum_{d=1}^nf(d)^k\sum_{i=1}^{(n/d)}\sum_{j=1}^{(n/d)}[\gcd(i,j)= 阅读全文
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对于这种找互质的数的集合的题，一般是讨论每个数的质因子会不会有重复。 听说这种互质的题把质因子分为小于 $\sqrt{n}$ 和大于 $\sqrt{n}$ 是经典套路？ 因为当 $n$ 很小的时候，小于 $\sqrt{n}$ 的质数并不多。比如对于这一题，小于 $\sqrt{N=1000}$ 的数只 阅读全文
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from 神/se 题面 有 $n$ 个箱子排成一行，第 $i$ 个箱子里最多能装 $a_i$ 个球。 还有 $m$ 个人，第 $i$ 个人手里有 $c_i$ 个球，并且可以往编号在 $[l_i,r_i]$ 中的箱子放球。 每个人还有一个类型 $t_i\in{0,1}$。 对 $x=1,\cdots 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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先讲一下等会要用到的定义： 红格代表被甜玉米洒水器喷洒到的方格，蓝格代表被苜蓿洒水器喷洒到的方格。橙格代表有甜玉米洒水器的方格，紫格代表有苜蓿洒水器。 $(a,b)$ 指网格线的交点，$[a,b]$ 指网格。 比如下面这个图中，黄点代表的是 $(4,3)$，黄格代表的是 $[2,3]$。 $sum_ 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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~~真的是事后诸葛亮，一下考场就知道怎么做了，现在把题解补回来~~ 看到这个问题，我第一下想到的就是 $dp$。 如何 $dp$？ 设 $dp[i]$ 为以 $i$ 为右端点的所有子串的答案之和，那么最后要输出的答案就是 $ans=\sum_{i=1}^{n}dp[i]$。 至于怎么维护这个 $dp 阅读全文
posted @ 2022-10-28 18:24
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矩阵快速幂 相信其他巨佬讲矩阵快速幂的原理和过程都已经很详细了，这里我就着重讲一讲用裸的矩阵快速幂算法之后，如何优化。 优化1：优化矩阵乘法 这个好几位大佬讲过了，我也不讲了，主要就是把 $O(n^3)$ 的矩阵乘法优化到 $O(n^2)$。 优化2：倍增预处理矩阵 倍增预处理矩阵的核心思想就是： 阅读全文
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