【BZOJ3143】【HNOI2013】游走（期望dp，高斯消元）

首先想到怎么求出每一条边 \(i\) 在每次游走中被经过次数的期望 \(f_i\)，那么答案就可以贪心地取。（即让最大的 \(f_i\) 权值设为 \(1\)，次大的设为 \(2\)，……，最小的设为 \(m\)）

但是发现不好统计，或者时间无法承受。

发现点数很小（\(n\leq 500\)），于是想到怎么通过点的期望值转移到边上。

容易得到：如果设每一个点 \(u\) 在每次游走中被经过次数的期望 \(g_u\)，每个点的度数为 \(deg_u\)，然后假设某一条边 \(i\) 为 \((u,v)\)，那么有 \(f_i=\dfrac{g_u}{deg_u}+\dfrac{g_v}{deg_v}\)。

所以我们只需要求出 \(g\) 就可以得到 \(f\) 了。

容易得到状态转移方程：

\[g_u= \begin{cases} 1+\sum\limits_{(u,v)}\dfrac{g_v}{deg_v}&u=1\\ \sum\limits_{(u,v)}\dfrac{g_v}{deg_v}&1<u<n\\ \end{cases} \]

解释一下：

首先为什么 \(u=1\) 的时候要比其他时候多加 \(1\)，因为初始化的时候本来就应该是 \(g_1=1\)。

然后为什么 \(g_n\) 不考虑，因为到了 \(n\) 之后就结束游走了，不可能再走向下一条边。

然后这个状态转移方程就可以看成是有 \(n-1\) 个未知数，\(n-1\) 条式子的方程，用高斯消元做就好了。

最后代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 510
#define M 125010

using namespace std;

int n,m;
int deg[N],from[M],to[M];
double a[N][N],x[N],f[M];

vector<int>e[N];

void Gauss()
{
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int p=i;
		for(int j=i+1;j<n;j++)
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[p][i])) p=j;
		if(i!=p) swap(a[i],a[p]);
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		{
			double tmp=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=i;k<=n;k++) a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
		}
	}
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		for(int j=i+1;j<n;j++) a[i][n]-=x[j]*a[i][j];
		x[i]=a[i][n]/a[i][i];
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&from[i],&to[i]);
		e[from[i]].push_back(to[i]);
		e[to[i]].push_back(from[i]);
		deg[from[i]]++,deg[to[i]]++;
	}
	for(int u=1;u<n;u++)
	{
		a[u][u]=1;
		for(int i=0,size=e[u].size();i<size;i++)
		{
			int v=e[u][i];
			if(v!=n) a[u][v]-=1.0/deg[v];
		}
	}
	a[1][n]=1;
	Gauss();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=from[i],v=to[i];
		if(u!=n) f[i]+=x[u]/deg[u];
		if(v!=n) f[i]+=x[v]/deg[v];
	}
	sort(f+1,f+m+1);
	double ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		ans+=i*f[m-i+1];
	printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}