【AGC035E】Develop（图论，DP）

对于某个集合 \(S\subseteq\{1,\cdots,n\}\)，考虑能不能删去 \(S\)。

对于任意 \(x\in S\)，连边 \(x\to x-2\)（如果 \(x-2\in S\)）及 \(x\to x+k\)（如果 \(x+k\in S\)），那么能把 \(S\) 删去当且仅当这张图是一个 DAG。

于是我们先对所有点都这么连边形成图 \(G\)，那么 \(S\) 合法当且仅当 \(S\) 在 \(G\) 中的导出子图是个 DAG，即无环。

对于所有 \(x\to x-2\) 的边，它们形成了两条链，分别称为奇链和偶链。然后我们对 \(k\) 的奇偶性分类讨论：若 \(k\) 是偶数，那么这两条链是不连通的（独立的），而无环相当于要求每条链中不连续选 \(k/2+1\) 个点，这个方案数很好统计（注意数据范围不大，暴力 DP 即可）。

若 \(k\) 是奇数，情况就复杂些。首先，若出现了环，那么一定经过了正偶数条 \(x\to x+k\) 的边（经过一次会改变一次当前点的奇偶性）。接下来我们证明，一个简单环必定只经过了恰好 \(2\) 条 \(x\to x+k\) 的边。

对于任意一个简单环 \(C\)，取其编号最小的点 \(a\)，那么环中 \(a\) 的上一个点一定是 \(a+2\)，下一个点一定是 \(a+k\)（记为 \(b\)）。而且我们发现，对于 \(a,a+2,\cdots,b-1\) 中的任意一个点 \(x\)，\(x\) 在环中都不可能是 \(+k\) 得到的（否则 \(a\) 不是最小点），于是我们已经可以确定 \(C\) 的一部分形态，如上图左上。

接着，\(b\) 在环中接下来肯定是先走若干步 \(-2\)（可以是 \(0\) 步，但不能超过 \(a\)）走到 \(c\)，然后再走一步 \(+k\) 走到 \(d\)，如上图左下。

接着，如上图右，我们又继续考虑 \(e=b+1\) 这个点是从哪来的，若它是 \(+k\) 得到的，那么就必然要经历从 \(b-1,b\) 右侧到 \(b-1,b\) 左侧的过程（从 \(d\) 经过若干步到达 \(a+1\)），这个过程中一定会再次经过 \(b-1,b\) 中的某一个点，这就与该环是简单环矛盾了。从而，\(e\) 是从 \(e+2\) 来的。类似地，可以推出 \(b+1,b+3,\cdots,d-2\) 中的每一个点 \(x\) 都是从 \(x+2\) 来的，这就和 \(d\) 接起来了。

于是 \(C\) 只有可能是 \(a\xrightarrow{\text{一步}+k}b\xrightarrow{\text{若干步}-2}c\xrightarrow{\text{一步}+k}d\xrightarrow{\text{若干步}-2}a\) 的形态。

那么，现在限制改为了，\(S\) 在 \(G\) 中的导出子图不能出现环，且该环恰经过两次 \(+k\)，如下图左上。

假设 \(S\) 已经选好了，怎么快速判断是否存在这样的环：可以从每个 \(S\) 中的奇数编号的点 \(x\) 开始，按如下方式找一条路径（称为 \(x\) 的找环路）并检查：

• 找到最小的 \(y\) 使得 \(\{y,y+2,\cdots,x-2,x\}\subseteq S\)。

• 找到最小的 \(z\) 使得 \(z\in\{y,y+2,\cdots,x-2,x\}\) 且 \(z+k\in S\)。若找不到这样的 \(z\) 那么跳过从 \(x\) 开始的检查。

• 找到最小的 \(w\) 使得 \(\{w,w+2,\cdots,z+k-2,z+k\}\subseteq S\)。

• 考虑路径 \(P=x\to x-2\to \cdots\to z\to z+k\to z+k-2\to \cdots\to w\)，若 \(P\) 长度大于等于 \(k+2\)，那么我们就找到了一个环。

如上图左下，图中的红蓝两条路径就是从两个不同的 \(x\) 开始的找环路。

容易证明，按照上述方式，若找不到任何一个环，那么图中就确实不存在环（因为从我们所述的 \(z\) 跳到 \(z+k\)，是能使得 \(P\) 的长度尽量大的）。

那么考虑 DP。如上图右，设 \(f_{i,\ell_1,\ell_2}\) 表示考虑完 \([1,i]\) 中的奇数点和 \([1,i+k]\) 中的偶数点，其中从 \(i\) 开始的找环路经过的点数为 \(\ell_1\)，而从 \(i+k\) 开始不断 \(-2\) 所能经过的点的个数为 \(\ell_2\) 的方案数。

转移的时候，考虑从 \(i+2\) 开始的找环路（假设 \(i+2\in S\)）：若 \(i\in S\) 且存在从 \(i\) 开始的找环路，那么从 \(\ell_1\) 转移过来；否则从 \(\ell_2\) 转移过来。转移是 \(O(1)\) 的。

时间复杂度 \(O(nk^2)\)，注意 DP 时若 \(\ell_2> k+2\) 我们可以直接把它看做 \(k+2\)。