【AGC001E】BBQ Hard（图论，dp）

题意：求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{i-1}\dbinom{A_i+A_j+B_i+B_j}{A_i+A_j}\)，\(n\leq 2\times 10^5\)，\(A_i,B_i\leq 2000\)。

显然是从 \(A_i,B_i\leq 2000\) 的数据范围入手，一开始是想着直接枚举 \(A_i+A_j=S_A\)，\(B_i+B_j=S_B\)：

\[\sum_{S_A=0}^{4000}\sum_{S_B=0}^{4000}\dbinom{S_A+S_B}{S_A}cnt(S_A,S_B) \]

其中 \(cnt(S_A,S_B)\) 表示 \(A_i+A_j=S_A\) 且 \(B_i+B_j=S_B\) 的 \((i,j)\) 的组数。但发现这个 \(cnt\) 不太好统计。

然后有另一种比较奇妙的做法：

把 \(\dbinom{A_i+A_j+B_i+B_j}{A_i+A_j}\) 看成是从 \((-A_i,-B_i)\) 走到 \((A_j,B_j)\) 的不同路径数。我们要统计的就是第三象限的所有起点走到第一象限的所有终点的总路径数。

设 \(dp(i,j)\)，然后转移就按普通的路径数转移：\(dp(i,j)=dp(i-1,j)+dp(i,j-1)\)，遇到一个起点就多给 \(dp(i,j)\) 加一，遇到一个终点就把当前的 \(dp(i,j)\) 统计进答案。

挺妙的，通过转移到同一模型上然后通过一次 DP 把总数给算出来。

注意我们最后得到的答案是 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n}\dbinom{A_i+A_j+B_i+B_j}{A_i+A_j}\)，所以还要处理一下。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
 
#define N 200010
 
using namespace std;
 
namespace modular
{
    const int mod=1000000007;
    inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
    inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
    inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
    inline void Add(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
}using namespace modular;
 
inline int poww(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
 
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
 
int n,a[N],b[N];
int fac[8010],ifac[8010];
int Q[4010][4010];
int dp[4010][4010];
int ans;
 
int C(int n,int m)
{
    return mul(mul(fac[n],ifac[m]),ifac[n-m]);
}
 
int main()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=8000;i++)
        fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    ifac[8000]=poww(fac[8000],mod-2);
    for(int i=8000;i>=1;i--)
        ifac[i-1]=mul(ifac[i],i);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=read(),b[i]=read();
        dp[2001-a[i]][2001-b[i]]++;
        Q[2001+a[i]][2001+b[i]]++;
    }
    for(int i=1;i<=4001;i++)
    {
        for(int j=1;j<=4001;j++)
        {
            Add(dp[i][j],add(dp[i-1][j],dp[i][j-1]));
            if(Q[i][j]) Add(ans,mul(Q[i][j],dp[i][j]));
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=dec(ans,C(a[i]+a[i]+b[i]+b[i],a[i]+a[i]));
    printf("%d\n",mul(ans,poww(2,mod-2)));
    return 0;
}