【AGC013D】Piling Up（神奇的dp）

考场上用了一种奇怪的做法，不知道为什么就对了，考完后仔细想才想明白。

很巧妙的一种 dp 方式。

首先发现每次操作是拿一个球、放两个球、再拿一个球，总球数不变，所以有 \(\text{黑球数}=n-\text{白球数}\)。

那么可以设 \(dp(i,j)\) 表示 \(i\) 次操作后，当前箱子里白球还剩 \(j\) 个所得到的的颜色序列的情况数。

显然有状态转移：

1. \(dp(0,i)=1\)，\(0\leq i\leq n\)

2. 当 \(i>0\) 时，有：

\[\begin{aligned} dp(i,j)=&\underbrace{dp(i-1,j)}_{\text{先白后黑，需保证$j>0$}}+\underbrace{dp(i-1,j)}_{\text{先黑后白，需保证 $n-j>0$}}+\\ &\underbrace{dp(i-1,j-1)}_{\text{先黑后黑，需保证 $j> 0$}}+\underbrace{dp(i-1,j+1)}_{\text{先白后白，需保证 $n-j>0$}} \end{aligned} \]

但是发现会算重。

原因是有可能一些相同的操作（即相同的颜色序列）被开始白球数不同的多种情况计算了多次。

比如说像上图一样，用一条折线代表一种情况。尽管两种情况初始白球数量不一样，结束时白球数量不一样，但是拿出来的球颜色序列是一样的。

所以需要找到一个恰当的方法，去除这些重复的部分。

考虑钦定只计算某一种特定的方案。

发现选 \(0\) 这个点是最合适的，就是说，我们只计算所有颜色序列的情况中，白球数曾经是 \(0\) 的那一个。

放到图上来，就是只计算经过 \(x\) 轴的那条折线。

显然这种折线只有一条，因为折线不能跨越 \(x\) 轴，即白球数量在 dp 过程中不可能小于 \(0\)。

这种特殊的性质主要取决于我们不需要更新白球数量小于 \(0\) 的部分，我们也不需要用白球数量小于 \(0\) 的部分来更新其他状态。

然后考虑如何计算这种情况的方案数，最简单的就是直接设 \(dp(i,j,1/0)\) 表示前 \(i\) 次操作，当前箱子里还剩下 \(j\) 个白球，白球数量是/否达到过 \(0\) 的情况数。

当前还有好写一点的，也就是我要介绍的这种方法。

设按照我们一开始说的方法 dp，\(n=x\) 的情况下的答案是 \(solve(x)\)，那么答案就是 \(solve(n)-solve(n-1)\)。

怎么理解呢？

\(solve(n)\) 表示的是当初始球数为 \(0\sim n\) 时的答案。

\(solve(n-1)\) 表示的是当初始球数为 \(0\sim (n-1)\) 时的答案。但是在这里，我们把它理解为初始球数为 \(1\sim n\)，且每时每刻箱子里的白球都大于等于 \(1\) 个时的答案。也就是说我固定住一个白球在箱子里不动。

那么相减是什么意思呢？

如图，\(solve(n)-solve(n-1)\) 其实可以看做图中 \(\color{green}{\text{绿线}}\) 与 \(\color{purple}{\text{紫线}}\) 围住的情况数减去 \(\color{blue}{\text{蓝线}}\) 与 \(\color{purple}{\text{紫线}}\) 围住的情况数，那么最后在这些颜色序列相同的情况中，只剩下了唯一的 \(\color{red}{\text{红色折线}}\) 所代表的方案。

所以这种方法也是可行的。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 3010
#define mod 1000000007 

using namespace std;

int n,m,dp[N][N];

int solve(int n)
{
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<=n;i++) dp[0][i]=1;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			if(j) dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]+dp[i][j])%mod;//先白后黑 
			if(n-j) dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]+dp[i][j])%mod;//先黑后白 
			if(j) dp[i+1][j-1]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j])%mod;//白白 
			if(n-j) dp[i+1][j+1]=(dp[i+1][j+1]+dp[i][j])%mod;//黑黑
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)
		ans=(ans+dp[m][i])%mod;
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	printf("%d\n",(solve(n)-solve(n-1)+mod)%mod);
	return 0;
}