【LGR114C】地地铁铁

题意：

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图，每条边标有 \(0\) 或 \(1\)，统计无序点对 \((x,y)\) 的数量，满足 \(x,y\) 之间存在一条简单路径（点不重），使得这条简单路径既经过 \(0\) 边也经过 \(1\) 边。

\(n\leq 4\times 10^5\)，\(m\leq 10^6\)。

题解：

首先变为统计 \((x,y)\) 之间任意简单路径都只经过 \(0\) 边或只经过 \(1\) 边的 \((x,y)\) 的对数。

分类讨论，考虑 \((x,y)\) 之间所有简单路径都只经过 \(0\) 边的点对数量。

借着这个机会，系统总结一下几个点双的基本性质。接下来我们称 “非平凡点双” 为点数 \(\geq 3\) 的点双。

• 引理 1：对于非平凡点双 \(S\) 和任意 \(S\) 内两个不同的点 \(a,b\)，存在两条 \(a,b\) 间的点不交（除 \(a,b\) 外，以后将不再说明此事）的简单路径 \(A,B\)。

  注意点双的定义是：删掉任意一个点后原图仍连通。所以这个引理不是废话（

  证明：考虑对 \(a,b\) 间的最短路 \(d(a,b)\) 归纳证明。

  当 \(d(a,b)=1\) 即存在边 \((a,b)\) 时。若不存在另外一条 \(a,b\) 间的路径，那么删掉边 \((a,b)\) 后 \(a,b\) 将不连通，不妨设此时 \(a\) 所在的连通块大小 \(\geq 2\)，那么在原图中删掉 \(a\) 将会导致原图不连通，矛盾。

  当 \(d(a,b)>1\) 时。考虑 \(a,b\) 间的任意一条最短路 \(a-\cdots-c-b\)。根据假设，存在两条 \(a,c\) 间的点不交简单路径 \(A,B\)。根据定义，删去 \(c\) 后 \(a,b\) 仍然连通，此时取一条 \(a,b\) 间的简单路径 \(P\)，那么 \(P\) 不经过 \(c\)。如图：

  

  不妨设 \(P\) 和 \(A,B\) 第一次相交在 \(B\) 上的点 \(d\)，那么 \(b\xrightarrow{P}d\xrightarrow{B}a\) 和 \(b\rightarrow c\xrightarrow{A}a\) 即为两条点不交的所求路径。

• 推论 2：对于点数 \(\geq 3\) 的图 \(G\)，\(G\) 是点双连通分量当且仅当对于任意 \(G\) 中的两个不同的点 \(a,b\)，存在两条 \(a,b\) 间的点不交的简单路径 \(A,B\)。

• 引理 3：对于点双 \(S\) 和任意 \(S\) 内三个不同的点 \(a,b,c\)（这蕴含 \(S\) 是非平凡的），存在一条简单路径依次经过 \(a,b,c\)。

  证明：如图，任取两条 \(a,b\) 间的点不交的简单路径 \(A,B\)，再任取一条 \(b,c\) 间的且不经过 \(a\) 的路径 \(P\)，根据点双的定义，这三条路径都是可以取得到的。

  

  不妨设 \(P\) 与 \(A,B\) 最后一次相交在 \(B\) 上的点 \(d\)（那么 \(d\neq a\)），于是 \(a\xrightarrow{A}b\xrightarrow{B}d\xrightarrow{P}c\) 即为一条所求路径。

• 引理 4：对于非平凡点双 \(S\) 和任意 \(S\) 内的一点 \(u\) 和一边 \(e\)，存在一个经过 \(u,e\) 的简单环。

  证明：设 \(e=(a,b)\)。若 \(u=a\) 或 \(u=b\) 则显然；否则，根据引理 3，存在一条简单路径 \(P\) 依次经过 \(a,u,b\)，显然 \(P\) 不经过 \(e\)，于是 \(P,e\) 组成的简单环即为一条所求的环。

• 引理 5：对于点双 \(S\) 和任意 \(S\) 内两个不同的点 \(a,b\) 和一边 \(e\)，存在一条 \(a,b\) 间的简单路径经过 \(e\)。

  证明：若 \(S\) 中只有两个点的情况那么证明显然，所以不妨设 \(S\) 是非平凡点双。

  设 \(e=(u,v)\)。根据引理 4，存在一个经过 \(a,e\) 的简单环 \(C\)，不妨将 \(C\) 上 \(a-u\) 段称为 \(A\)，\(a-v\) 段称为 \(B\)。如图：

  

  任取一条从 \(b\) 出发不经过 \(a\) 的与 \(C\) 相交的简单路径 \(P\)（为什么一定能取到？考虑取一条 \(b,u\) 间的不经过 \(a\) 的简单路径即可）

  不妨设 \(P\) 与 \(C\) 第一次相交在 \(A\) 上的点 \(c\)（那么 \(c\neq a\)），于是 \(b\xrightarrow{P}c\xrightarrow{A}u\xrightarrow{e}v\xrightarrow{B}a\) 即为一条所求路径。

引理 3 和引理 5 是两个很常用的结论。

看回这题，考虑将原图缩成点双，那么若 \(x,y\) 间存在某个有 \(1\) 边的点双，那么根据引理 5，\(x,y\) 间就一定有经过 \(1\) 边的简单路径。反之，若 \(x,y\) 间所有点双都只有 \(0\) 边，那么 \(x,y\) 间的所有简单路径肯定都只包含 \(0\) 边。

有了这个结论后剩下就好做了。具体地，先建出圆方树。然后对于原图上一条 \(0\) 边 \((u,v)\)，它恰属于一个点双 \(S\)，找到 \(S\) 对应的方点只需在圆方树上根据 \(u,v\) 相对位置讨论即可，然后我们再给该方点打上标记。接下来统计圆方树上不经过标记点的圆点间路径数即可。

于是我们解决了 “\((x,y)\) 之间所有简单路径都只经过 \(0\) 边的点对数量”，对于只经过 \(1\) 边的同理统计。

接下来统计 \((x,y)\) 之间既有只经过 \(0\) 边的路径（称为 \(0\) 路）、又有只经过 \(1\) 边的路径（称为 \(1\) 路）的点对数量，称这种点对为 “合法点对”。

• 命题 6：若 \((x,y)\) 为合法点对，那么 \(x,y\) 之间的任意一条 \(0\) 路和任意一条 \(1\) 路都不交（除 \(x,y\) 外）。

  证明：否则可以调整得到一条 \(01\) 路。

• 推论 7：若 \((x,y)\) 为合法点对，那么 \(x,y\) 肯定同在一个点双 \(S\) 内，进一步地，\(S\) 肯定是非平凡点双。

考虑对某个非平凡点双 \(S\) 统计其内的合法点对 \((x,y)\) 的数量。

一个直觉（出题人说有，但我没有，怎么会事呢？）是，点双 \(S\) 肯定长成这样：

接下来我们来证明这一点。

我们称 \(S\) 内的一点 \(u\) 为交错点，当且仅当 \(u\) 在 \(S\) 内既存在相邻的 \(0\) 边，也存在相邻的 \(1\) 边。

• 命题 8：若 \((x,y)\) 为 \(S\) 内的合法点对。对于 \(S\) 内的任意交错点 \(u\)，\(x,y\) 中必有一者等于 \(u\)。

  证明：反证，若 \(x,y,u\) 为三个不同的点。设与 \(u\) 相邻的 \(0\) 边为 \((u,a)\)，与 \(u\) 相邻的 \(1\) 边为 \((u,b)\)。根据引理 5，存在两条 \(x,y\) 间简单路径，其中一条 \(A\) 经过 \((u,a)\)，其中一条 \(B\) 经过 \((u,b)\)。如图：

  

  由于 \((x,y)\) 为合法点对，那么可知 \(A\) 为 \(0\) 路且 \(B\) 为 \(1\) 路，但它们相交在点 \(u\)，根据命题 6 可知矛盾。

• 推论 9：若 \(S\) 内存在合法点对，则 \(S\) 内至多有 \(2\) 个交错点。

• 推论 10：若 \(S\) 内存在合法点对，则 \(S\) 内恰有 \(2\) 个交错点。

  证明：若 \(S\) 只有一个交错点，容易证明该交错点是割点，矛盾。

• 命题 11：若 \(S\) 内恰有 \(2\) 个交错点 \(x,y\)，那么 \(S\) 内恰有一对合法点对 \((x,y)\)。

  证明：对于任意 \(S\) 内的合法点对 \((x',y')\)，根据命题 8 可知，\(x',y'\) 中必有一者等于 \(x\)，且必有一者等于 \(y\)，那么 \((x',y')=(x,y)\)。

  从而只需证明 \((x,y)\) 为合法点对即可：根据引理易知，\(x,y\) 之间肯定既有包含 \(0\) 边的路径、也有包含 \(1\) 边的路径，于是只需证明 \(x,y\) 间不存在既包含 \(0\) 边也包含 \(1\) 边的路径即可。而若出现了这种路径，显然能找到另一个不同于 \(x,y\) 的交错点，矛盾。

于是，我们证明了，某个非平凡点双 \(S\) 内包含合法点对，当且仅当 \(S\) 中恰有 \(2\) 个交错点，且此时 \(S\) 中恰包含一个合法点对。

于是我们可以线性处理整个问题。具体地，对于原图上一条边 \((u,v)\)，找到其所在点双在圆方树上对应点 \(S\)，我们给树上 \((u,S),(v,S)\) 这两条边分别标上 \((u,v)\) 所属颜色的记号，那么最后若 \((u,S)\) 上既有 \(0\) 记号又有 \(1\) 记号，就意味着 \(u\) 是 \(S\) 内的交错点。

ll C2(int x){return 1ll*x*(x-1)/2;}

struct edge
{
	int u,v;
	bool c;
}e[M];

int n,m;
int top,sta[N];
int idx,dfn[N],low[N];
int node,fa[N<<1],dep[N<<1];
int tag[N<<1],tot[N<<1];
ll ans;

vector<int> e1[N],e2[N<<1];

void tarjan(int u)
{
	dfn[u]=low[u]=++idx;
	sta[++top]=u;
	for(int v:e1[u])
	{
		if(!dfn[v])
		{
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u])
			{
				int S=++node,w;
				do
				{
					w=sta[top],top--;
					e2[S].push_back(w),e2[w].push_back(S);
				}while(w!=v);
				e2[S].push_back(u),e2[u].push_back(S);
			}
		}
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}

void dfs(int u)
{
	for(int v:e2[u]) if(v!=fa[u])
		fa[v]=u,dep[v]=dep[u]+1,dfs(v);
}

int findS(int u,int v)
{
	return fa[dep[u]<dep[v]?v:u];
}

int dfs1(int u)
{
	int size=(u<=n);
	for(int v:e2[u]) if(v!=fa[u])
		tag[u]?(ans+=C2(dfs1(v))):(size+=dfs1(v));
	return size;
}

void calc1(bool c)
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(e[i].c^c) tag[findS(e[i].u,e[i].v)]=1;
	ans+=C2(dfs1(1));
	for(int i=1;i<=node;i++) tag[i]=0;
}

void calc2()
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int S=findS(e[i].u,e[i].v);
		tag[dep[e[i].u]<dep[S]?S:e[i].u]|=(1<<e[i].c);
		tag[dep[e[i].v]<dep[S]?S:e[i].v]|=(1<<e[i].c);
	}
	for(int i=1;i<=node;i++)
		if(tag[i]==3) tot[i]++,tot[fa[i]]++;
	for(int i=n+1;i<=node;i++)
		if(tot[i]==2) ans++;
}

int main()
{
	read(),n=node=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].c=(getchar()=='D');
		e1[e[i].u].push_back(e[i].v),e1[e[i].v].push_back(e[i].u);
	}
	tarjan(1);
	dfs(1);
	calc1(0);
	calc1(1);
	calc2();
	printf("%lld\n",C2(n)-ans);
	return 0;
}