ATCoder ARC299D - Nim_k ?

问题陈述

有 \(K+1\) 堆石头。第 \(i\) 堆有 \(A_i\) 块石头。
爱丽丝和鲍勃在玩一个游戏。在这个游戏中，他们轮流移动，爱丽丝先移动。在每一轮中，下面的操作都会进行 \(K\) 次。

• 选择一堆有一个或多个石子的棋子，并从中取出一个或多个石子。在此，同一回合内可以多次选择同一堆棋子。

在自己的回合中无法执行 \(K\) 次操作的玩家输掉游戏。当双方都以最佳方式下棋时，哪一方获胜？

给你 \(T\) 个测试案例，请逐个解决。

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这啥博弈？

将满足以下条件的状态定义为" \(P\) 状态"：

\[m = \min\limits_i A_i, m \equiv 0 \pmod{K}, \sum\limits_i (A_i - m) \lt K \]

关于 \(P\) 状态，以下三个命题成立。

如果在一个回合 \(\to\) 中不能进行 \(K\) 次操作，则是 \(P\) 状态

当无法进行 \(K\) 次操作时，棋子总数小于 \(K\) 。由于小于棋子堆的数量，所以存在一个零棋子的棋子堆。因此， \(m=0\) 和 \(\sum\limits_i (A_i - m) < K\) 成立，满足状态 \(P\) 的条件。

从 \(P\) 状态移动到 \(P\) 状态是不可能的

假设可以从 \(P\) 状态移动到另一个状态。
作为 \(P\) 状态的一个属性，假设当前 \(P\) 状态的最小值为 \(tk\) ，从条件 \(\sum\limits_i (A_i-tk) \lt K\) 中，我们可以得到：

\[\forall i, tk \leq A_i \lt (t+1)k. \]

如果可以在一个回合内从 \(P\) 状态移动到另一个状态，那么至少有一堆棋子的数量不会发生变化，因此最小值 \(tk\) 需要保持不变。然而，由于 \(\sum\limits_i (A_i-tk) \lt K\) 在移动之前保持不变，这样的操作不可能进行 \(K\) 次，这是一个矛盾。

从一个不是 \(P\) 的状态出发，总是有可能移动到 \(P\) 的状态。

设当前的最小值为 \(m = qK + r, 0 \leq r \lt K\) ，并让 \(j\) 表示其中一个达到最小值的堆积点。

我们的分歧在于 \(r = 0\) 是否可以移动。

如果是 \(r \gt 0\) ，则只需将 \(j\) 以外的棋子数减少到 \(qK\) 即可。如果是 \(r = 0\) ，则只需保持棋子堆 \(j\) 不变，将其他棋子堆减至 \(m\) 即可。(由于原始状态不是 \(P\) 状态，我们有 \(\sum\limits_i (A_i - m) \geq K\) ，因此可以通过适当的操作来实现）。

因此，无论哪种情况，都可以移动到 \(P\) 状态。

综上所述，我们已经证明

• 如果一个回合无法完成 \(\to\) 它就是一个 \(P\) 状态
• 不可能从 \(P\) 状态移动到另一个状态
• 从非 \(P\) 状态总是可以移动到 \(P\) 状态

由此可见， \(P\) 状态正是棋手移动的失败状态。简单地说，如果一个棋手的轮回状态不是 \(P\) 状态，那么他的制胜策略就是移动到 \(P\) 状态。初始状态是否为 \(P\) 状态可以在 \(\mathrm{O}(K)\) 中计算。