schur定理的广义ramsey数证明

我们定义 \(r(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_n)\) 为广义 Ramsey 数，其含义为在大小为 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 的完全图内给边染至多 \(n\) 种颜色，至少存在一个 \(K_{a_1}\) 是同色或存在一个 \(K_{a_2}\) 是同色，...，或存在一个 \(K_{a_n}\) 是同色的最小值记为 \(r(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_n)\)。

我们再来看 Schur 定理的描述：给定集合 \(\{1, \, 2, \, \cdots, \, f_n\}\)，对任意 \(n\) 划分（即不重不漏的划分为 \(n\) 个子集），都存在一个子集，含有 \(3\) 个元素 \(x, \, y, \, z\)（元素可以重复），使得 \(x + y = z\)。

我们不妨设 \(f_n = r(3, \, 3, \, \cdots, \, 3) - 1\)（共 \(n\) 个 \(3\)），我们把 \(r(3, \, 3, \, \cdots, \, 3)\) 记作 \(r(3 ; n)\)，考虑完全图 \(K_{r(3;n)}\)，我们记其中的元素为 \(i_1, \, i_2, \, \cdots, \, i_{r(3;n)}\)，考虑 \(i_p\) 与 \(i_q\) 的连边权值为 \(|i_p - i_q|\)，我们为权值为 \(|i_p - i_q|\) 的边染色为 \(c(|i_p - i_q|)\)，则按照广义 Ramsey 定理的定义，至少存在一个同色三角形 \(x, \, y, \, z \in v(K_{r(3;n)})\)，不妨设 \(x < y < z\)，则 \(y - x\)，\(z - y\)，\(z - x\) 属于一个同色三角形，也即他们存在于同一个集合中，不难发现 \((y - x) + (z - y) = z - x\)，也即取 \(f_n = r(3;n) - 1\) 时至少存在一个集合中含有 \(3\) 个元素满足 Schur 定理。