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摘要： 图的伴随矩阵 考虑无向图 \((V, E)\)，定义它的伴随矩阵 \(B\) 是满足如下条件的一个 \(|V|\times|E|\) 的矩阵: 对于第 \(j\) 列，设第 \(j\) 条边的两个端点分别是 \(u, v(u<v)\)，边权为 \(w_j\)，那么第 \(j\) 列的第 \(u\) 阅读全文

摘要： 前置知识： OI中的群论初步 线段树 幺半群 对于集合 \(G\) 和二元运算 \(*\)，如果满足如下条件，则称二元组 \((G, *)\) 是幺半群： \(\forall g_1, g_2\in G, g_1*g_2\text{有定义并且} g_1*g_2\in G\)（封闭性） \(\exis 阅读全文

摘要： 线性相关 对于 \(n\) 个向量 \(\bm{v}_1, \bm{v}_2, ......, \bm{v}_n\)，称它们线性相关，当且仅当存在 \(\text{不全为}\ 0\ \text{的}\ n\ \text{个数}c_1, c_2, ......, c_n\in \mathbb{R}, 阅读全文

摘要： 子矩阵 设 \([n]=\{1, 2, ......, n\}\)，设 \(r\subseteq [n], c\subseteq [m]\)，则定义子矩阵 \(A_{r, c}\) 是只保留 \(A_{ij}(i\in r, j\in c)\) 的元素形成的矩阵。 余子式和代数余子式 对于 \(n\ 阅读全文

摘要： 前置知识 矩阵定义 矩阵加法，数乘 矩阵乘法 高斯消元 置换 转置 设 \(A\) 是 \(n\times m\) 的矩阵，它的转置矩阵记作 \(A^T\)，满足 \(A_{i, j}=A^T_{j, i}\)。 例如原矩阵： \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 阅读全文

摘要： 等一分钟 以下方括号表示艾弗森括号，括号里的内容为真则括号的值是 \(1\)，否则是 \(0\)。 题意 记 \(W(x, l, r)=\sum_{i=l}^r[a_i=x]\)，求 \(\underset{1\leq l\leq r\leq n, v\text{是}a_l, a_{l+1}, .. 阅读全文

摘要： 数学基础 相关符号 多项式系数提取符号 \([x^i]f(x)\) 表示多项式 \(f(x)\) 中 \(x^i\) 前的系数。 艾弗森括号 \([P]=\begin{cases}1, P \text{为真}\\0, P\text{为假}\end{cases}\) 求积符号 \(\prod_{i=1 阅读全文

摘要： 在上一章的最后，我们使用 Burnside 引理解决了 【模板】Pólya 定理。但是，这类题其实可以被 Pólya 定理更好的解决。 Pólya 定理 设 \(G, X\) 均有限且 \(G\) 作用在 \(X\) 上，\(Y\) 是一个有限集（你可以认为其中的每一个元素都是一种颜色），定义 \( 阅读全文

摘要： 对称群 对于集合 \(A\)，定义对称群是由全体 \(A\rightarrow A\) 的双射构成的群（运算是映射的复合），记做 \(\text{Sym}(A)\)。 当 \(A\) 是有限集时，设 \(n=|A|\)，则称 \(\text{Sym}(A)\) 为 \(n\) 次对称群，记作 \(S 阅读全文

摘要： 群作用 考虑群 \(G\) 和集合 \(X\)，如果有二元运算 \(g*x(g\in G, x\in X)\) 满足如下性质，则称群 \(G\) 作用于 \(X\)。 \(g*x\in X\) \(g1\times (g2*x)=(g1\times g2)*x\) \(e*x=x\) 为了书写简便， 阅读全文