第五章：Pólya 定理及一些运用

在上一章的最后，我们使用 Burnside 引理解决了 【模板】Pólya 定理。但是，这类题其实可以被 Pólya 定理更好的解决。

Pólya 定理

设 \(G, X\) 均有限且 \(G\) 作用在 \(X\) 上，\(Y\) 是一个有限集（你可以认为其中的每一个元素都是一种颜色），定义 \(X^Y\) 是全体映射 \(X\rightarrow Y\) 构成的集合。（你可以认为 \(X^Y\) 中的每一个元素都是一个染色方案）

考虑二元运算 \(g*f=h(g\in G, f, h\in X^Y)\)，满足 \(\forall x\in X, h(x)=f(g^{-1}x)\)。容易验证 \(G\) 通过二元运算 \(*\) 作用于 \(X^Y\)。（你可以认为如果 \(g*f=h\)，则 \(f\) 和 \(h\) 这两个染色方案本质相同）

定义双射（置换）\(\sigma_g:X\rightarrow X\)，满足 \(\sigma_g(x)=gx\)，定义 \(c(g)=\sigma_g\) 分解成的不相交轮换数量。

那么著名的 Pólya 定理断言：\(|\{O_x|x\in X^Y\}|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|Y|^{c(g)}\)。

例子

求 \(n\) 个颜色给 \(n\) 个点的环染色，认为两种染色方案相同当且仅当能够通过旋转使得一种方案和另一种方案重合，求本质不同的染色方案数。

定义 \(Y=\{\text{颜色1}, \text{颜色2}, ......, \text{颜色n}\}, X\) 是环上 \(n\) 个节点构成的集合，\(G=(\{\text{顺时针旋转零个节点}, \text{顺时针旋转一个节点},...... \text{顺时针旋转} n-1 \text{个节点}\}, \text{操作的复合})\)。

根据定义 \(X^Y\) 是所有给点染色的方案构成的集合。

根据定义， \(g*f\) 就是染色方案 \(f\) 经过 \(g\) 操作得到的染色方案（你应该自己验证这一点），\(|\{O_x|x\in X^Y\}|\) 就是本质不同的染色方案，利用 Pólya 定理可知答案是 \(\frac{1}{n}\sum_{g\in G}n^{c(g)}\)。

考虑计算 \(c(\text{顺时针旋转k个节点})\)，它的意义如果把两个点能通过若干次旋转 \(k\) 个节点而重合，则成这两个点本质相同的情况下，本质不同的点的数量。我们有 \(c(\text{顺时针旋转k个节点})=\gcd(n, k)\)

你会发现，转化到这里 Pólya 定理的结论和 Burnside 推出的结论完全相同。所以使用 Burnside 引理能够容易地证明出 Pólya 定理。

习题

一.考虑一个正方形，给它的顶点染色为红色，绿色或者蓝色，认为旋转后相同的染色方案相同，求本质不同的染色方案。（答案：\(\frac{1}{4}(3^4+3+3^2+3)=24\)）

二.考虑一个三角形，给它的顶点染色为红色，绿色或者蓝色，如果一种染色方案通过若干次旋转和翻着后和另一种染色方案相同，则认为它们本质相同，求本质不同的染色方案。（答案 \(\frac{1}{6}(3^3+3^2+3^2+3^1+3^2+3^1)=10\)）

三.求证 \(\forall n, m\in \mathbb{Z}^+，n|\sum_{k=1}^n m^{\gcd(n, k)}\)。