第三章：置换群

对称群

对于集合 \(A\)，定义对称群是由全体 \(A\rightarrow A\) 的双射构成的群（运算是映射的复合），记做 \(\text{Sym}(A)\)。

当 \(A\) 是有限集时，设 \(n=|A|\)，则称 \(\text{Sym}(A)\) 为 \(n\) 次对称群，记作 \(S_n\)

定义对称群的子群是变换群，如果这个对称群是有限群，那么还称它的子群为置换群。（置换群也是一种变换群）

习题

一.证明 \(|S_n|=n!\)
二.验证对称群满足群的性质。
三.证明若 \(n\geq 3\)，则 \(S_n\) 不是阿贝尔群。

轮换

定义置换 \(\sigma:A\rightarrow A\) 是一个轮换当且仅当存在 \((a_0, a_2, ......, a_{k-1})\)，满足 \(\forall i, \sigma(a_i)=a_{i+1\mod k}\)，且对于所有 \(x\ne a_i, \sigma(x)=x\)。

一个置换可以用 \((a_0, a_1, ......, a_{k-1})\) 的形式表示，其中 \(k\) 被称为这个轮换的长度。当 \(k=2\) 时，称这个轮换为对换。

置换唯一分解定理

一个置换可以被分解为若干个不相交轮换的复合，并且如果不考虑这些轮换的顺序，这样的分解方式唯一。

证明比较显然，考虑若 \(\sigma(a)=b\)，则连接 \(a\) 和 \(b\)，最终必然得到若干个环，每一个环都恰好对应一个轮换。

习题

一.证明两个不相交轮换的复合满足交换律。

二.证明任何置换都可以被分解为若干个对换的复合。

三.设 \(\sigma=\prod_{i=1}^{k}A_i(A_1, A_2, ..., A_k\) 是不相交的轮换)，设 \(p=\text{lcm}_{i=1}^{k}(A_i\text{的长度})\)，求证 \(\sigma^p=e(\text{单位元})\)。

置换的奇偶

逆序对和置换的符号

定义一个置换 \(\sigma\in S_n\) 的逆序对数量为 \(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n[\sigma(i)>\sigma(j)]\)，记作 \(\text{inv}(\sigma)\)。

定义这个置换的符号函数 \(\text{sgn}(\sigma)=(-1)^{\text{inv}(\sigma)}\)，表达了这个置换的逆序对数量奇偶性。

根据定义，有如下的结论：

• \(\text{sgn}(e)=1\)
• \(i\ne j, \text{sgn}((i, j))=-1\)
• \(i\ne j, -\text{sgn}(a)=\text{sgn}((i, j)a)\)
  利用第三个结论，可以得到：
• 如果 \(\sigma=(a_1, b_1)(a_2, b_2).......(a_k, b_k)(a_i\ne b_i)\)，那么 \(\text{sgn}(\sigma)=(-1)^k\)。
• \(a, b\in S_n， \text{sgn}(a)\text{sgn}(b)=\text{sgn}(ab)\)

奇置换和偶置换

如果 \(\text{sgn}(\sigma)=1\)，则称 \(\sigma\) 是偶置换，否则称它是奇置换。

根据 \(\text{sgn}\) 的性质，如果一个偶置换可以被分解为 \(k\) 个对换的积，那么可以断言 \(k\) 是偶数。奇置换同理。

同时还有：

• 偶置换和偶置换的乘积是偶置换。

• 奇置换和偶置换的乘积是奇置换。

• 偶置换和奇置换的乘积是奇置换。

• 奇置换和奇置换的乘积是偶置换。

习题

一.证明长度为奇数的轮换是偶置换，长度为偶数的轮换是奇置换。

二.证明 \(S_n\) 中奇置换的个数和偶置换的个数相等（\(n\geq 2\)）。

三.证明 \(\text{sgn}(\sigma)=\text{sgn}(\sigma^{-1})\)。