第四章：群作用，轨道-稳定子定理和 Burnside 引理

群作用

考虑群 \(G\) 和集合 \(X\)，如果有二元运算 \(g*x(g\in G, x\in X)\) 满足如下性质，则称群 \(G\) 作用于 \(X\)。

• \(g*x\in X\)
• \(g1\times (g2*x)=(g1\times g2)*x\)
• \(e*x=x\)

为了书写简便，有时候 \(*\) 会省略。

考虑如下几个例子：

• 使用满足 \(g*x=x\) 的二元运算，任意群 \(G\) 都作用于 \(X\)。（此时称这个作用是平凡的）

• 使用加法做为二元运算，则 \((\mathbb{Z}, +)\) 作用于 \(\mathbb{Z}\) 和 \(\mathbb{R}\)，但是 \((\mathbb{R}, +)\) 不作用于 \(\mathbb{Z}\)。

• 考虑二元运算 \(f*x=f(x)\)，则 \(S_A\) 作用于 \(A\)。

习题

一.设 \(g\in G\)，\(G\) 作用于 \(X\)，证明映射 \(f:x\rightarrow g*x\) 是双射。

二.证明若 \(G\) 作用于 \(X\)，那么存在映射 \(f:G\rightarrow S_X\)，满足 \(\forall g_1, g_2\in G, f(g_1g_2)=f(g1)\circ f(g2)\)。

一些定义

定义 \(x\) 的轨道 \(O_x=\{gx|g\in G\}\)，定义 \(x\) 的稳定化子 \(F_x=\{g|gx=x\}\)。
可以证明 \(F_x\leq G\)。(只需验证群的四条性质是否满足)

考虑如下例子：

• 在平凡作用中，\(\forall x\in X, O_x=\{x\}, F_x=G\)
• 考虑以加法为二元运算，\((\mathbb{Z}, +)\) 作用于 \(\mathbb{Q}\)，并且 \(\forall x\in \mathbb{Q}，O_x=\{x+k|k\in\mathbb{Z}\}, F_x=\{0\}\)

习题

一.完成 \(F_x\leq G\) 的证明。
二.证明 \(\forall y\in O_x, O_y=O_x\)。

轨道-稳定子定理

\(G\) 作用于 \(X\)，则 \(\forall x\in X, g, h\in G, gx=hx\iff g^{-1}h\in F_x \iff g^{-1}F_x=hF_x\)（第二个等价符号是陪集的性质）

证明：\(gx=hx\iff g^{-1}hx=g^{-1}gx=ex=x\iff g^{-1}h\in F_x\)。

推论：存在双射 \(f:G/F_x\rightarrow O_x\)，即 \(|G:F_x|=|O_x|\)

习题

一.证明如果 \(G\) 作用于 \(X\)，那么 \(\forall x\in X, |O_x||F_x|\) 是定值。

二.考虑 \(A=\{1, 2, 3, 4\}\)，\(S_A\) 作用在 \(A\) 上。试求出 \(O_1\) 和 \(|F_1|\)，并验证它是否满足轨道-稳定子定理。

三.考虑二元运算 \(g*A=\{ga|a\in A\}\)，对于 \(H\leq G\)，证明 \(G\) 作用在 \(G/H\) 上，证明 \(F_{xH}=\{xhx^{-1}|h\in H\}\)，求出 \(|F_{xH}|\) 和 \(|O_{xH}|\)，验证它是否满足轨道-稳定子定理。

Burnside 引理：

设 \(X_g=\{x|x\in X, gx=x\}\) 表示 \(g\) 的所有不动点。

Burnside 引理:\(|\{O_x|x\in X\}|=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X_g|\)

证明：\(|\{O_x|x\in X\}|=\sum_{x\in X}\dfrac{1}{|O_x|}=\sum_{x\in X}\dfrac{|F_x|}{|G|}=\dfrac{1}{|G|}\sum_{x\in X}|F_x|=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X_g|\)。

最后一步是因为两个和式都会每一对满足 \(gx=x\) 的 \(x\) 和 \(g\) 统计恰好一次。

习题：

一. P4980 【模板】Pólya 定理
求对 \(n\) 个点的环使用 \(n\) 种颜色染色的方案数。两个方案数不同当且仅当一个环无法通过旋转和另一个环重合。

解法

考虑群 \(G=(\{\text{顺时针旋转零个节点}, \text{顺时针旋转一个节点},...... \text{顺时针旋转} n-1 \text{个节点}\}, \text{操作的复合})\)，容易验证它是一个群。（事实上还是阿贝尔群）

考虑集合 \(X=\text{所有的染色方案}\)，定义二元运算 \(g*x=\text{对}x\text{执行}g\text{操作后得到的染色方案}\)，容易验证 \(G\) 作用于 \(X\) 上。

发现和 \(x\) 本质相同的染色方案构成的集合是 \(O_x\)，所以题目求的就是 \(|\{O_x|x\in X\}|\)，可以利用 Burnside 引理计算，但问题是如何计算 \(X_g\)。

考虑哪些染色方案满足顺时针旋转 \(k\) 个节点后不变，发现它的充分必要条件是 \(\forall i, a_i=a_{i+\gcd(n, k)\mod n)}\)。（具体证明需要用到裴蜀等式）所以方案数是 \(n^{\gcd(n, k)}\)。

根据 Burnside 引理，答案是 \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nn^{\gcd(i, n)}\)。

根据莫比乌斯反演相关理论，得出答案是 \(\sum_{g|n}n^{g-1}\phi(\frac{n}{g})\)，直接计算即可。