合集-数值计算方法

第 0 章：绪论
摘要：主要内容： 数值计算方法的特点 误差与有效数字 计算复杂性与算法稳定性 范数 数值计算方法的特点 研究对象 数值计算方法，是一种研究数学问题数值近似解的方法，简称计算方法。 研究一些在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题，以及没有解析解的数学问题。应用范围很广 数值计算方法的特点： 面向计算机 要 阅读全文
posted @ 2024-12-16 21:55 韦飞 阅读(87) 评论(0) 推荐(0)
第 1 章：插值
摘要：插值 1.1 插值问题的基本概念 1.2 多项式插值的拉格朗日形式 1.3 多项式插值的牛顿形式 \(Hermite插值^*\) 分段低次插值 1.1插值问题的基本概念 问题的提出 设有一个年产量 240 吨的食品加工厂，需要统计其生产费用，但由于该厂各项资料不全，无法统计。在这种情况下，统计部门收 阅读全文
posted @ 2024-12-17 13:24 韦飞 阅读(137) 评论(0) 推荐(1)
第 2 章：最小二乘拟合
摘要：目录 2.1 拟合函数 2.2 多项式拟合 2.3 矛盾方程组 2.1拟合函数 问题的提出：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 编号 拉伸倍数 \(( x_i )\) 强度 \(( y_i )\) 编号 拉伸倍数 \(( x_i )\) 强度 阅读全文
posted @ 2024-12-17 15:55 韦飞 阅读(237) 评论(0) 推荐(0)
第 3 章：非线性方程求解（一）
摘要：目录： 引言 实根的对分法 不动点迭代法 Newton迭代法 弦截法和抛物线法 解线性方程组的Newton方法 3.0引言 问题背景 在数学中，要求n次多项式的根（n次方程） \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0 \quad (a_n 阅读全文
posted @ 2024-12-18 16:22 韦飞 阅读(216) 评论(0) 推荐(0)
第 3 章：非线性方程求解（二）
摘要：3.4Newton迭代法 对非线性方程\(f(x)=0\)可构造多种迭代格式\(x_{k+1}=φ(x_k)\)，\(Newton\)迭代法是对函数\(f(x)\)做\(Taylor\)展开取其线性部分构造的一种迭代格式 作\(f(x)\)在\(x_0\)处的泰勒展开： \[f(x) = f(x_0 阅读全文
posted @ 2024-12-18 21:36 韦飞 阅读(199) 评论(0) 推荐(0)
第 4 章：解线性方程组的直接法（一）
摘要：解线性方程组的直接法 4.1 高斯消元法 4.2 直接分解法 4.3 病态方程组 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性方程组，即求线性方程组 (1) 的未知量\(x_1,x_2,...,x_n\)的数值 其中\(a_{ij},b_i\)为常数 写成矩阵形式 \(Ax = b\) 称 阅读全文
posted @ 2024-12-22 08:49 韦飞 阅读(262) 评论(0) 推荐(0)
第 4 章：解线性方程组的直接法（二）
摘要：由前文提到的矩阵的\(LU\)分解派生出解方程组的直接分解法 \(由高斯分解法得到启发，对A的消元过程相当于将A分解为一个上三角阵和一个下三角阵的过程。\) 如果直接分解\(A\)得到\(L\)和\(U\),\(A=LU\),这时候方程组\(AX=b\)化为\(LUX=b\)，令\(UX=Y\)，由 阅读全文
posted @ 2024-12-22 13:44 韦飞 阅读(210) 评论(0) 推荐(0)
第 5 章：解线性方程组的迭代法
摘要：主要内容 5.1 一般迭代法的构造及其收敛性 5.2 三种常用的迭代法 雅克比迭代法 高斯-赛德迭代法 SOR 迭代法 5.3 逆矩阵的计算 一5.1 般迭代法的构造及其收敛性 根据系数矩阵的不同，实际问题中的线性方程组大致分为两类 低阶稠密线性方程组（阶数不超过150） 大型稀疏线性方程组（方程阶 阅读全文
posted @ 2024-12-22 19:25 韦飞 阅读(978) 评论(0) 推荐(0)
第 6 章：数值积分和数值微分（一）
摘要：主要内容 6.1 数值微分 6.2 数值积分 6.3 复化数值积分 6.4 重积分 6.5 高斯型积分 6.1 数值微分 当函数\(f(x)\)是以离散点列给出时，或当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算\(f(x)\)的导数\(f'(x)\) 我们知道，导数是由差商的极限来定义的，有如下三 阅读全文
posted @ 2024-12-23 09:05 韦飞 阅读(265) 评论(0) 推荐(0)
第 6 章：数值积分与数值微分（二）
摘要：6.3 复化数值积分 由于牛顿-科特斯公式在\(n≥8\)时不稳定，因此可能通过提高阶数来提高求积精度 实际计算中常用低阶复化求积方法。我们讨论复化梯形公式和复化辛普森公式 思想对积分区间分段，每段采用低阶积分 复化梯形积分 对\([a,b]\)作等距分割，有\(h=\frac{b-a}{n},x_ 阅读全文
posted @ 2024-12-23 12:59 韦飞 阅读(985) 评论(0) 推荐(0)
第 7 章：常微分方程的数值解法（一）
摘要：主要内容 7.1 引言 7.2 数值方法的基本思想 7.3 欧拉法 7.4 龙格-库塔法 7.5 亚当姆斯法 7.6 算法的稳定性及收敛性 7.7 一阶常微分方程与高阶方程 7.1 引言 包含自变量、未知函数及未知数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中，自变量的个数只有一个的，称为常微分方程 阅读全文
posted @ 2024-12-23 21:25 韦飞 阅读(501) 评论(0) 推荐(0)
第 7 章：常微分方程的数值解法（二）
摘要：7.4 龙格-库塔法 龙格-库塔法的基本思想 欧拉公式可以写成 则\(y_{i+1}\)的表达式与\(y(x_{i+1})\)的泰勒展开式的前两项完全相同，即局部截断误差为\(O(h^2)\) 改进的欧拉公式又可以写成 上述两个公式在形式上都有一个共同特点，都是用\(f(x,y)\)在某些点上值的线 阅读全文
posted @ 2024-12-23 23:36 韦飞 阅读(433) 评论(0) 推荐(1)
第 8 章：计算矩阵的特征值和特征向量
摘要：主要内容 8.1 特征值的相关理论 8.2 幂法 8.3 反幂法 8.4 实对称矩阵的雅克比方法 8.5 QR方法简介 8.1 特征值的相关理论 特征值与特征向量的定义 特征值与特征向量的性质 8.2 幂法 一种计算矩阵主特征值（按模最大的特征值）及其特征向量的迭代法 算法假设 幂法迭代的基本思想 阅读全文
posted @ 2024-12-26 10:12 韦飞 阅读(430) 评论(0) 推荐(0)