第 3 章：非线性方程求解（一）

引言
实根的对分法
不动点迭代法
Newton迭代法
弦截法和抛物线法
解线性方程组的Newton方法

3.0引言

问题背景

在数学中，要求n次多项式的根（n次方程）
- $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0 \quad (a_n \neq 0)$
在光的衍射理论中，要求解非线性方程
- $x - \tan x = 0$
在行星轨道的计算中，对任意a和b，要求解
- $x - a\sin x = b$

因此我们要研究求解非线性方程 $f(x)=0$的数值方法

基本概念

对于单个变量的方程 $f(x)=0$

如果存在一点 $x^*$,使得$f(x^*)=0$，称$x^*$为方程的根或零点
如果方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$只有一个根，称$[a,b]$为单根区间
如果方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$上有多个根，称$[a,b]$为多根区间
如果方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$上有根，称$[a,b]$为有根区间

本章主要研究单根区间上的求解方法

例一：求方程$f(x) = x^3-11.1x^2+38.8x-41.77=0$的有根区间
- 方程的三个有根区间为$[2,3],[3,4],[5,6]$

3.1实根的对分法

算法

假设$f(a)f(b)<0,f∈C[a,b]$
记$a_0 = a,b_0 = b$
取$x_0 = \frac{a_0 + b_0}{2}$,将区间[a_0,b_0]分为两半
- 若$f(a_0)$与$f(x_0)$同号，则取$a_1=x_0,b_1=b_0$
- 否则取$a_1=a_0,b_1=x_0$
取$x_1 = \frac{a_1 + b_1}{2}$,将区间$[a_1,b_1]$分为两半
- 若$f(a_1)$与$f(x_1)$同号，则取$a_2=x_1,b_2=b_1$
- 否则取$a_2=a_1,b_2=x_1$
......
取$x_n = \frac{a_n + b_n}{2}$,将区间$[a_n,b_n]$分为两半
- 若$f(a_n)$与$f(x_n)$同号，则取$a_{n+1}=x_n,b_{n+1}=b_n$
- 否则取$a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=x_n$
得到一系列的有根区间
- $[a, b] = [a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots$
- 其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半
以上方法称为对分法

误差估计

由于
- $|x^* - x_k| \leq \frac{b_k - a_k}{2} = \frac{b - a}{2^{k+1}}$
只要二分足够多次（即k充分大），便有
- $|x^* - x_k| < \varepsilon$
- 其中 $\varepsilon$ 为给定的精度

算例

求方程

\[f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \]

在区间$[1.0,1.5]$内的一个根，要求精确到小数点后的第 2 位

算法特点

二分法的优点是算法简单，只要函数在区间内是连续的，就能保证是收敛的。缺点是收敛速度太慢，且当$f(x)$在$[a,b]$上有多个零点时，也只能算出一个零点。因此二分法一般不单独用于求根，而是求根的近似值

3.2不动点迭代法

不动点

对于给定方程 $f(x) = 0$，将它改写为等价形式

\[x=φ(x) \]

若要求$x^*$满足$f(x^*)=0$，则$x^*=φ(x^*)$，反之亦然。称$x^*$为函数$φ(x)$的一个不动点

不动点迭代法

求$f(x)$零点的方法就等价于求$φ(x)$的不动点，选择一个初始近似值$x_0$,构造迭代序列

\[x_{k+1} = \varphi(x_k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots \]

如果对任何$x_0∈[a,b]$，由上得到的序列${x_k}$右极限

\[\lim_{k \to \infty} x_k = x^* \]

则称迭代方程收敛，且$x^*=φ(x^*)$为$φ(x)$的不动点。因此算法称为不动点迭代法。取$x^*=x_{l+1}$为方程$f(x)=0$的根

算法的收敛性

方程f(x)=0的等价形式可能有很多，比如$x^3-2x-5-0$的三种等价形式及其迭代格式：

$ x^3 = 2x + 5, \quad x = \sqrt[3]{2x + 5}$ ，迭代格式：$x_{k+1} = \sqrt[3]{2x_k + 5}$
$2x=x^3-5$，迭代格式：$x_{k+1} = \frac{x_k^3 - 5}{2}$
$x^3 = 2x + 5, \quad x = \frac{2x + 5}{x^2}$，迭代格式：$x_{k+1} = \frac{2x_k + 5}{x_k^2}$

对于各种迭代格式，怎么判断其是否收敛？收敛速度与哪个量有关？收敛是否与迭代的初值有关？
关于$φ(x)$在$[a,b]$上不动点的存在唯一性，有如下定理

$若φ(x)定义在[a,b]上，如果φ(x)满足$
$1. 当x∈[a,b]时有a≤φ(x)≤b；$
$2. φ(x)在[a,b]上可导，并且存在正数 L＜1，使对任意的 x∈(a,b)，有|φ'(x)|≤L$
$则φ(x)在[a,b]上存在唯一的不动点x,迭代对任意的初值x_0∈[a,b]均收敛$
$且有误差估计式$

\[|x^* - x_k| \leq \frac{L^k}{1 - L} |x_1 - x_0| \]

算例

求代数方程 $x^3-2x-5=0$在$x_0=2$附近的实根

局部收敛性

定义一：
$\text{设 } \varphi(x) \text{ 有不动点 } x^*,\text{ 如果存在 } x^* \text{ 的某个邻域 } \Delta: |x - x^*| \leqslant \delta,$
$\text{ 对任意 } x_0 \in \Delta, \text{ 迭代法 } x_{k+1} = \varphi(x_k)\text{ 产生的序列 } \{x_k\} \subset \Delta, \text{ 且收敛到 } x^*,\text{ 则称迭代法局部收敛。}$

定理二：
$设x^*为φ(x)的不动点，φ'(x)在x^*的某个领域连续，且|φ'(x^*)|＜1,则迭代法局部收敛$