第 6 章：数值积分与数值微分（二）

6.3 复化数值积分

由于牛顿-科特斯公式在\(n≥8\)时不稳定，因此可能通过提高阶数来提高求积精度
实际计算中常用低阶复化求积方法。我们讨论复化梯形公式和复化辛普森公式

思想对积分区间分段，每段采用低阶积分

复化梯形积分

对\([a,b]\)作等距分割，有\(h=\frac{b-a}{n},x_i=a+ih,i=0,1,...,n\)，于是

\[I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx \]

在\([x_i,x_{i+1}]\)上

\[\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx = \frac{h}{2} (f(x_i) + f(x_{i+1})) - f''(\xi_i) \frac{h^3}{12} \]

则有

\[I(f) = \sum_{i=0}^{n-1} \left( \frac{h}{2} (f(x_i) + f(x_{i+1})) - f''(\xi_i) \frac{h^3}{12} \right) \]

记\(n\)等分的复化梯形公式为\(T_n(f)\)或者\(T(h)\)，有

\[\begin{align*} T(h) &= T_n(f) \\ &= h \left( \frac{1}{2} f(a) + \sum_{i=1}^{n-1} f(a + ih) + \frac{1}{2} f(b) \right) \\ &= \frac{h}{2} \left( f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(a + ih) + f(b) \right) \end{align*}\]

复化梯形公式的截断误差

复化辛普森积分

把积分区间偶数等分为\(2m\)个小区间，记\(n=2m\)，其中\(n+1\)是节点总数，\(m\)是积分子区间总数
记\(h=\frac{b-a}{n},x_i=a+ih,i=0,1,...,n\)，在每个子区间\([x_{2i},x_{2i+2}]\)上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化的辛普森公式，记为\(S_n(f)\)
复化辛普森积分计算公式

\[I(f) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \sum_{i=0}^{m-1} \int_{x_{2i}}^{x_{2i+2}} f(x) \, dx \]

\[\int_{x_{2i}}^{x_{2i+2}} f(x) \, dx = \frac{2h}{6} (f(x_{2i}) + 4f(x_{2i+1}) + f(x_{2i+2})) - \frac{(2h)^5}{2880} f^{(4)}(\xi_i) \]

称下面公式为复化辛普森积分公式，它是\(f(x)\)在\([x_{2i},x_{2i+2}]\)上采用辛普森公式叠加而得到的

\[\begin{align*} S_n(f) &= \sum_{i=0}^{m-1} \frac{2h}{6} (f(x_{2i}) + 4f(x_{2i+1}) + f(x_{2i+2})) \\ &= \frac{h}{3} \left( f(a) + 4 \sum_{i=0}^{m-1} f(x_{2i+1}) + 2 \sum_{i=1}^{m-1} f(x_{2i}) + f(b) \right) \end{align*}\]

复化辛普森求积公式节点与系数

复化辛普森公式的截断误差

例题-复化辛普森公式

例题

复化积分的自动控制误差算法

在实际计算中，经常无法根据误差公式确定分点个数，即使能够计算，也无法自动处理。因此常用事后估计法，即用\(|T_{2n}(f)-T_{n}(f)|\)估计误差
\(T_{2n}(f)\)的计算公式
对定积分\(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\)，取分点\(n=1\)，计算得

\[\begin{align*} T_2(f) &= \frac{b-a}{2} \left( \frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2} + f(x_2) \right) \\ &= \frac{1}{2} T_1(f) + \frac{b-a}{2} f(x_2) \end{align*}\]

取分点\(n=2\),计算得

\[T_1(f) = \frac{b-a}{2} (f(a) + f(b)) \]

这里\(x_2 = \frac{a+b}{2}\)
取分点\(n=4\)

\[\begin{align*} T_4(f) &= \frac{b-a}{4} \left( \frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) \right) \\ &= \frac{T_2}{2} + \frac{b-a}{4} (f(x_1) + f(x_3)) \end{align*}\]

计算\(T_4(f)\)只需要在\(T_2(f)\)基础上新增分点\(f(1),f(3)\)的值，再做结合即可
一般地，每次总对前一次的小区间分半，分点加密一倍，并可以允许利用老分点上的函数值，只需计算新增分点的和
对\([a,b]\)进行\(n\)等分，\(h_n=\frac{b-a}{n}\)

\[T_n(f) = h_n \left( \frac{f(a)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{f(b)}{2} \right) \]

记\([x_i,x_{i+1}]\)上的中点为\(x_{(i+1)/2}\)，则

\[\begin{align*} T_{2n}(f) &= \frac{h_n}{2} \left( \frac{f(a)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i+1/2}) + \frac{f(b)}{2} \right) \\ &= \frac{h_n}{2} \left( \frac{f(a)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{f(b)}{2} \right) + \frac{h_n}{2} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i+1/2}) \end{align*}\]

\[T_{2n}(f) = \frac{1}{2}(T_n(f) + H_n(f)) \]