第 8 章：计算矩阵的特征值和特征向量

主要内容

• 8.1 特征值的相关理论
• 8.2 幂法
• 8.3 反幂法
• 8.4 实对称矩阵的雅克比方法
• 8.5 QR方法简介

8.1 特征值的相关理论

• 特征值与特征向量的定义
  

• 特征值与特征向量的性质
  

8.2 幂法

一种计算矩阵主特征值（按模最大的特征值）及其特征向量的迭代法

1. 算法假设
   

2. 幂法迭代的基本思想
   
   

3. 定理 8.2
   

4. 算法过程
   

• 最重要的步骤是求迭代向量：对一个矩阵\(A\)，任意取初始向量\(v_0∈R_n，v_0≠0\)
  • \(v_1=Av_0\)
  • \(v_2=Av_1\)
  • \(...\)
  • \(v_k=Av_{k-1}=A^kv_0\)
  • .....
• 再求\(\lambda\)
• 
  • 其中\(i\)表示范数

5. 例题
   
   

关于幂法的思考

• 幂法的规范运算
  
  

• 定理8.3
  

• 例题
  

8.3 反幂法

• 计算矩阵中按模最小特征值和及相应的特征向量

1. 反幂法的基本思想
   
   

• 定理8.4
  

• 例题
  

• 反幂法的应用
  

课后习题