第 5 章：解线性方程组的迭代法

主要内容

• 5.1 一般迭代法的构造及其收敛性
• 5.2 三种常用的迭代法
  • 雅克比迭代法
  • 高斯-赛德迭代法
  • SOR 迭代法
• 5.3 逆矩阵的计算

一5.1 般迭代法的构造及其收敛性

根据系数矩阵的不同，实际问题中的线性方程组大致分为两类

• 低阶稠密线性方程组（阶数不超过150）
• 大型稀疏线性方程组（方程阶数高且零元素较多）

迭代法的基本思想

迭代法的收敛性1

• 向量序列和矩阵序列的极限

迭代法构造的一般原则

• 将系数矩阵分解为 \(A=M-N\)
  • \(M\)非奇异，\(m^{-1}\)易求得
• 从而方程组（1）可等价化为
  • \(x=M^{-1}Nx+M^{-1}b\)
• 记 \(B = M^{-1}N = M^{-1}(M-A)=I-M^{-1}A\),\(f=M^{-1}b\)
• 选取\(x^{(0)}\)为初始向量，得到迭代
  • \(x^{(k+1)} = bx^{(k)} + f ,(k=0,1,...)\)
• 其中，B为迭代矩阵
  • 若迭代序列收敛，则其极限为方程组（1）的解

例题1

• 总的思想为
  

问题：

• 1. 迭代法什么时候收敛
• 2. 迭代法什么时候收敛得快

迭代法的收敛性2

• 设解线性方程组的迭代公式为

\[x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + f \]

• 而方程组的精确解为 \(x^*\),则

\[x^*=bx^*+f \]

• 则迭代法收敛的充要条件是

\[\lim_{{k \to \infty}} B^k = 0 \]

例题2

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迭代的控制：

例题3

迭代法的收敛速度

例题4

5.2 三种常用的迭代法

雅克比迭代

• 回顾例一的解法
  

雅克比迭代的收敛性定理1

例题

雅克比迭代的收敛性定理2

高斯-赛德迭代法

高斯-赛德迭代法的收敛性定理

例题

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SOR迭代法（逐次超松弛迭代法）

例题1

SOR方法收敛的充分必要条件

• 上述定理给出了松弛迭代因子的范围，对每个给定的方程组，确定\(w\)究竟取多少为最佳，是比较困难的问题，对某些特定方程组，可以得到一些理论结果
• 通常，把\(0<w<1\)的迭代称为亚松弛迭代（或低松弛），把\(w=1\)的迭代称为高斯-赛德迭代，而把\(1<w<2\)称为超松弛迭代

最佳松弛因子

例题2

5.3 逆矩阵的计算

课后习题