文章分类 - 笔记
摘要：引入 用途 用于快速的判断一个数是否为质数。 费马素性测试 费马小定理：若 \(p\) 为质数，那么 \(a^{p-1}=1\pmod p\), 我们只需枚举 \(a=2\sim p-1\) ，检验 \(a^{p-1}=1\pmod p\) 是否满足即可。 然而一些合数也可以通过这个测试，比如 \(
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摘要：#### 有向图游戏 有一个有向图，图上有一个棋子，Alice 和 Bob 轮流移动棋子，不能移动的人算负。 #### SG 函数 首先，对于有向图上没有后继的点 $x$，$\text{SG}(x)=0$. 对于任意一个点 $x$，设其后继状态为 $y_1,y_2...y_m$，$\text{SG}
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摘要：1.FFT 复数 复数乘法的运算法则是模长相乘，幅角相加。 在单位圆中（模长为1），复数相乘只会幅角转动。 定义单位根 \(w_n\)，表示转 \(\frac{1}{n}\) 圆的角。 满足 \((w_n)^n=1\)。 单位根的 \(0\sim n-1\) 次幂均分整个圆，即满足 \((w_n^i
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摘要：### 1.上下界网络流 #### 无源汇上下界可行流 每条边不仅有容量上界，还有容量下界，必须至少有若干流量流过。 且原图没有源点和汇点。 记 $f_0$ 为“每条边都恰好流了下界”的方案。 $f_0$ 可能不满足流量守恒。 我们记 $p_u=\sum_v f_0(u\rightarrow v)$
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摘要：### 1.生成函数 #### 1.1 定义 如果存在一个数列 $a_0,a_1,...,a_n$， 定义其普通生成函数为 $f(x)=a_0+a_1 x+a_2x^2+...=\sum_{i=0}^{\infty}a_i x^i$. 指数生成函数为 $g(x)=a_0+a_1\dfrac{x}{1
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摘要：### 1.后缀数组 #### 引入 ##### 结构 后缀数组一般由两个数组组成： $sa_i$，表示按照字典序排序第 $i$ 小的是哪个后缀。 $rk_i$，表示第 $i$ 个后缀排名第几。 有 $sa_{rk_i}=rk_{sa_i}=i$ ##### 计数排序 是一种支持排序算法，时间 $O
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摘要：1.KMP 算法 引入 border 下文默认字符串从 1 开始。 \(border\) 的定义，若对于字符串 \(s\)，长为 \(n\)， 若存在 \(s[1,r]=s[n-r+1,n](r\not=n)\)，那么称 \(r\) 为 \(s\) 的 \(border\). \(fail\) 数组
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摘要：1.状态设计优化 给个例题：求最长公共子序列， 但是 \(A\) 长度为 \(n=10^6\)，\(B\) 长度为 \(m=10^3\)。 \(O(nm)\) 会超时。 不妨设 \(f(i,j)\) 表示取了 \(i\) 个 B，答案是 \(j\)，\(A\) 的最小长度。 这样复杂度是 \(O(m
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摘要：### 1.线性 dp #### 1.1 P1412 经营与开发 由于前面的操作只会对后面乘一个系数。 所以这题需要倒着 dp。 $f(i) = \max (f(i+1)\cdot k+v,f(i+1))$ $k,v$ 分别为损耗，利益。 ### 2.区间 dp 状态通常为一个区间。 #### 2.
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摘要：以 P4719【模板】动态 DP 一题为例。 我们显然可以写出朴素的方程。 考虑有 $v$ 为 $u$ 儿子。 $f_{u,0}=\sum \max(f_{v,0},f_{v,1})$ $f_{u,1}=\sum f_{v,0}$. 答案是 $\max (f_{root,0},f_{root,1})
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摘要：引入 节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。 二分图不存在长度为奇数的环。 模型 二分图最大匹配 用匈牙利算法或网络流。 换算成网络流， 二分图最大匹配 = 最大流。 二分图最小点覆盖 König 定理： 最小点覆盖：选最少的点，满足每条边至少有一个端点被选。 最小点覆盖 = 最大匹配。 换
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摘要：引入 P2495 [SDOI2011] 消耗战 我们容易发现我们可以有一个 $O(nq)$ 的树形 Dp. 我们称有资源的点为关键点。有 $k$ 个。 设 $dp_u$ 表示 $u$ 子树内不连接任何关键点的最小费用。 $dp_u=dp_u+\min(dp_v,w)$，当 $v$ 非关键点。 $dp
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摘要：引入 网络 是有向图。 每条边有权值 \(c(u,v)\)，称为容量(Capacity)。 有两个重要的点，源点 \(s\)，汇点 \(t\) 。 流 流函数 \(f\) 满足: 容量限制： \(f(u,v)\le c(u,v)\) 斜对称 ： \(f(u,v)=-f(u,v)\) 流量守恒 ：\(
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摘要：1.最短路 引入 Dijkstra Dijkstra 是基于贪心的一种算法，适用于非负权的图，求解单源最短路。 算法是这样的： 找出全局距离最小的点 $u$，并用这个点去更新连接它的 $v$ 点的距离。 时间复杂度 $O(n^2)$，使用堆优化可以优化到 $O(m \log m)$ code pri
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摘要：### 1.逆元 #### 引入 我们知道在同余系里面加，减，乘都是可以直接完成。 但是不能除。 我们要想在模 $p$ 意义下除以一个数，就可以乘这个数的逆元。 这个数记作 $x^{-1}$. 满足 $x \cdot x^{-1} \equiv 1 \pmod p$ 线性求 $1\sim n$ 逆元
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摘要：1.普通莫队 引入 先介绍莫队。 莫队是一种离线的算法。 莫队基于以下流程。 现在已知区间 \([l,r]\) 的贡献。 我们也可以推出 \([l,r-1]\),\([l-1,r]\),\([l+1,r]\),\([l,r+1]\) 区间的贡献。 诸如这样，我们挪动区间，顺便更新答案，就可以从上一次
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摘要：1.李超树 引入 李超线段树是一种维护直线、线段的数据结构。 可插入一条线段或直线，并查询 \(x=p\) 的点上最值的 \(y\) . 构建 李超线段树用了标记永久化的思想。 李超树的每一个节点，设区间为 \([L,R]\) 保存最优直线的编号，这个编号是指 \([L,R]\) 之间 \(mid=
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摘要：引入 数据分块（整除分块） 对于 \(\left \lfloor \dfrac{n}{i} \right \rfloor (1\le i\le n)\)，最多只有 \(2\sqrt{n}\) 种取值。 所以就可以打包计算。 以求 \(\sum n\mod i\) 为例： 由于 \(n=i\cdot
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摘要：前置知识 时间戳（dfn）：图的深度优先遍历中，节点第一次被访问的次序。 搜索树：由所有发生递归的边构成。 无向图的割点与桥 割点：若 $u$ 是割点，那么删去 $u$ 点及其相连的边，原图分成二或以上个连通块。 桥（割边）：若 $e$ 是桥，那么删去 $e$ 边，原图分成二个连通块。 让我们引入一
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摘要：引入 笛卡尔树是一种与堆和平衡树密切相关的数据结构。 笛卡尔树是一种二叉树，每个节点有两个值 \((k,w)\)， 其中 \(k\) 满足二叉搜索树的性质， \(w\) 满足堆的性质。 期望的深度是 \(\log n\) 的。 三个性质： 任何子节点 \(w\) 满足小于（或大于）父节点的 \(w\
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