文章分类 - 笔记
摘要：组合优化 这里主要讲决策单调性。 qoj # 9737. Let's Go! New Adventure 首先，直接决策单调性看似有道理，但实际上有缺陷。权值并不是蒙日矩阵。 考虑改一下权值，记 \(w(l,r)=p-c+\frac{\sum_{i\in[l,r]}a_i-\sum_{i=1}^pb
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摘要：哈希 这部分比较地简单。 P6688 可重集 考虑定义哈希函数为 \(\sum bas^{a_i}\)，这个函数是支持区间加的。本质上是因为 \((+,\times )\) 有结合律。 判断两集合是否相等的话考虑各减去其最小值即可。 基于哈希的后缀排序 对于每个后缀，考虑提取前 \(n/2\) 个字
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摘要：信息论 信息熵：一个随机变量 \(x\) 的信息熵为 \(H(x)=-\sum p_i\log p_i\)，\(p_i\) 为取 \(i\) 的概率。 -> \(1\sim n\) 随机变量熵为 \(\log n\)。 -> 恒为 \(1\) 的一个变量没有任何信息。 -> 均匀分布变量的信息熵是最
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摘要：前置 P：多项式复杂度能被图灵机判定的语言。即 \(O(n^k)\)，其中 \(n\) 为输入长度。 NP：“其解的正确性可以在多项式时间内被验证。” 规约：若你能用 B 的解法解决 A，则 B 至少和 A 一样难，那么 A 可以规约到 B。 完全性： 若一个问题比所有的 NP 问题都难，那么它是
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摘要：数形结合 把结构用形状表示。 -> 括号串，01 串考虑用折线。反射容斥。 -> 括号匹配用区间树表示。 -> 偏序问题转化到二维平面。 -> 凸轮建模，置换环。 -> 转化为平面上的点 P4375 [USACO18OPEN] Out of Sorts G 简介 01 原理。如果一个过程只与比较相关
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摘要：主要研究组合问题，譬如对合法方案的统计，最优化等。 处理研究对象。考虑有没有直观的表示方法，描述结构等。刻画解的性质。 “枚举” 一个典题 考虑一个序列所有子序列的权值和，权值定义为每相邻三个数 \(\max\) 之积。\(n\le 5000\)。 研究对象是所有子序列。“枚举法”，挨个加入每个元素
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摘要：注：本文废话比较多，因为是用来交差的。 关于一类染色计数问题的研究 1. 引入 给出一张无向图，其中包含 \(n\) 个点，以及 \(m\) 条边，以及颜色的个数 \(k\)。每条边代表其两端连接的点颜色不能相同。问题是给这 \(n\) 个点染任一种颜色，求出满足上述每条边的限制的方案数。当然方案数
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摘要：1. 后缀平衡树 引入 后缀平衡树的每个节点维护一个后缀，平衡树中序遍历出来的就是后缀数组。 我们假设已经维护好了 \(S\) 的后缀平衡树，现在从前插入一个字符 \(c\)，现在要把 \(c+S\) 插入。 假设我们现在比较 \(c+S\) 和 \(A\) 的大小，若首字母不同，那么已经比较出；
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摘要：1. 分治法 我们先把所有点按照 \(x\) 坐标为第一关键字，\(y\) 坐标为第二关键字排序。 我们以 \(p_{n/2}\) 为分界点，拆分点集 \(A_1,A_2\)，递归下去，直到 \(|A|\le 2\)。 设当前 \(A_1,A_2\) 中各自最近距离为 \(d_1,d_2\)，令 \
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摘要：P4389 付公主的背包 考虑构建生成函数 \(F(x)=\sum_{i=0}^\infty x^{iV}=\dfrac{1}{1-x^V}\)， 答案为 \(m\) 个生成函数的卷积，但是复杂度显然错误。 考虑把乘法化简，全部取 \(\ln\) 之后变成了加法，最后 \(\exp\) 回去。 设
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摘要：1.普通生成函数 基础知识 序列 \(a\) 的普通生成函数（OGF）为 \(F(x)=\sum a_ix^i\). 这是一些把数列转化为幂级数的例子： \(\{1,a,a^2,a^3,...\}\to\sum_{i=0}^\infty a^ix^i=\dfrac{1}{1-ax}\) \(\sum
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摘要：1.FFT/NTT 略。 2.多项式求逆 求 \(F^{-1}(x)\times F(x)=1\pmod {x^n}\) 我们假设已经求出了 \(F_*^{-1}(x)\times F(x)=1\pmod {x^{n/2}}\) （\(n/2\) 向上取整） 而 \(F^{-1}(x)\times
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摘要：引入 已知 \(A,B\)，用于解决 \(C_i=\sum_{j\star k=i}A_jB_k\)。其中 \(\star\) 是一种二进制运算。 我们可以构造 \(fwt\) 序列， 使得 \(A\to fwt_A\)，\(B\to fwt_B\)，\(fwt_C\) 为 \(fwt_A,fwt_
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摘要：矩阵求逆 我们现在求逆 \(A\)，那么我们把单位矩阵 \(I\) 放在 \(A\) 的右边，然后对这个 \((n\times 2n)\) 的矩阵消元。 我们得到了一个形如 \([IB]\) 的矩阵，\(B\) 就是 \(A\) 的逆矩阵。 如左边得不到 \(I\)，那么就无解。 行列式求值 我们要
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摘要：第二类斯特林数 设 $ {n\brace m}$ 表示 \(n\) 个元素放进 \(m\) 个无区别集合的方案数。 有 \({n\brace m}= {n-1\brace m}\cdot m+{n-1\brace m-1}\) 表示对于第 \(n\) 个元素，新开一个集合和加入原有的集合的方案数。
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摘要：每个点维护两个权值：\(\text{val},\text{pri}\)，其中 \(\text {val}\) 满足二叉搜索树性质，\(\text{pri}\) 满足大根堆。 \(\text{pri}\) 是随机生成的。 #include<algorithm> #include<iostream> #
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摘要：引入 先从 \(n\) 个点的有标号无根数个数出发，是 \(n^{n-2}\) 种。这是有关 prufer 序列的。 prufer 序列是这样建立：每次寻找编号最小的叶子节点并删除，在序列中加入这个点与之相连的那个点编号。 重复以上过程直到树只有两个点。 两个性质：剩下这两个点其中一个一定是 \(n
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摘要：以 P3403 跳楼机为例： 令 \(h\gets h-1\)，相当于求 \(ax+by+cz=k(k\le h)\) 的 \(k\) 的个数。 设 \(d_u\) 表示到达满足 \(k\bmod x=u\) 最小的 \(k\). \(d_u+y\to d_{(u+y)\bmod x},d_u+z\
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摘要：#### 引入 以下问题属于卡特兰数列。 1.$n$ 对括号，问合法括号匹配的方案数。 2.$n$ 个元素依此顺序进栈，则有多少种出栈序列。 3.一个 $n\times n$ 网格图，你要从 $(0,0)$ 走到 $(n,n)$，每次可以上下左右走，不可以走到 $(0,0)\sim (n,n)$ 的
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摘要：### 前置知识 对于若干向量组成的线性空间 $V$，其存在子集 $B$. $B$ 是线性无关的（指任意向量不能被其他向量通过线性组合表示）。 而且 $B$ 的张成（其通过任意线性组合表示的所有向量）为 $V$. ### 引入 OI 中的基，一般都运用于解决异或的问题。 两个二进制有 $len$ 位
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