二分图

引入

节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。
二分图不存在长度为奇数的环。

模型

二分图最大匹配

用匈牙利算法或网络流。
换算成网络流，
二分图最大匹配 = 最大流。

二分图最小点覆盖

König 定理：
最小点覆盖：选最少的点，满足每条边至少有一个端点被选。
最小点覆盖 = 最大匹配。

换算成网络流，
最小点覆盖 = 最小割。
最小割 = 最大流。

二分图最大独立集

最大独立集：选最多的点，满足两两之间没有边相连。
最大独立集 = 点数 - 最小点覆盖。

换算成网络流，
最大独立集 = 点数 - 最小割。

应用

P1129 [ZJOI2007] 矩阵游戏

考虑有 \(n\) 行，每行第 \(i\) 个是黑色。
考虑二分图最大匹配，把每行能放的位置建边。

P7368 [USACO05NOV]Asteroids G

考虑每个小行星都需要至少选了所在行或所在列。
这是一个最小点覆盖问题。
把横轴和竖轴分成二分图左边与右边，若 \((x,y)\) 有小行星，\(x\rightarrow y\) 加边。

P2423 [HEOI2012]朋友圈

这是求最大团，转化为补图的最大独立集。
补图刚好是二分图。