组合数学

1.生成函数

1.1 定义

如果存在一个数列 \(a_0,a_1,...,a_n\)，
定义其普通生成函数为 \(f(x)=a_0+a_1 x+a_2x^2+...=\sum_{i=0}^{\infty}a_i x^i\).
指数生成函数为 \(g(x)=a_0+a_1\dfrac{x}{1!}+a_2\dfrac{x^2}{2!}=\sum_{i=0}^{\infty}\dfrac{a_ix^i}{i!}\).

线性性：若 \(f(x),g(x)\) 是两个数列的生成函数，那么 \(f(x)+g(x)\) 是和数列的生成函数。
积性：若 \(f(x),g(x)\) 是两个数列的生成函数，那么 \(f(x)g(x)\) 是卷积数列的生成函数。（\(a_n=\sum_{k=0}^n b_{k}c_{n-k}\)）